6.3.1 二项式定理（讲义）-【状元桥·优质课堂】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

(2)可分两步完成,首先从7个白球中任取4个白球,有 (2)原式=C3(x-1)5+C(x-1)4+C(x-1)3+ C种取法:然后从2个红球中任取1个红球,有C2种取 C(x-1)2+C(x-1)+C(x-1)-1=[(x-1)+ 法.所以共有CC=70(种)取法 6.3二项式定理 变式1解析(1)(3+(31+…+Cm3+Cm=C03 +C3·1”=(3+ 6.3.1二项式定理 1)”=4”=1024=210,即22=20,解得n=5 课前·教材预案 (2)方法 [问题1提示(a+b)3=a3+3ab+3b2+b,(a+b)4 +C4(√x) a4+4a3b+6a2b2+4ab2+b, 问题2提示(a+b)3的展开式有4项,每一项的次数 是3;(a+b)4的展开式有5项,每一项的次数为4. [问题3]提示(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b) 方法 由多项式的乘法法则知,从每个(a+b)中选a或选 b相乘即得展开式中的一项.若都选a,则得Ca4b°; 16x2(16x-32x3+24x2-8x+1) 若有一个选b,其余三个选a,则得Ca3b;若有两个 选b,其余两个选a,则得Ca2b2;若有三个选b,余下 个选a,则得Cab;若都选b,则得Cab 例题2(1)二项式(x-2)的展开式的通项 问题4提示(a+b)”的展开式共有n+1项,各项中 a,b的指数和都是n 要点 12—3r=0,解得r=4.所以常数项是 思考]提示(1)Cwa"b是(a+b)”的第r+1项 15故选D项 (2)二项式中a,b不能交换位置.(a+b)”展开式中 (2)(√x+)的展开式的通项为 的第r+1项为Ca"b,(b+a)展开式中的第r+ 1项为Cba",两者是不相同的,所以在应用二项 式定理时,a和b不能随便交换位置 得n=4+5r,其中r∈N.若r=1,则n=9;若r=2 [微辨析]解析(1)正确.展开式的项数比指数大1 则n=14.故选BD项 (2)错误.二项展开式中项的系数与二项式系数不 答案(1)D(2)BD 定相等,只有当a,b的系数都为1时两者相等 (3)正确.(x-1)5的展开式中x项的系数为—5. 变式2]解析(1 的展开式的通项为T (4)错误.(a十b)″的展开式中通项C”b的次数 (-2a)(8x32,令8-2r=0, 不一定为 答案(1)√(2)×(3)√(4) 解得r=4,所以T=C(-2a)1=1120,解得a=±1. 故选C项 课堂·深度拓展 答案C 例题1解(1(2x+2)=C(2)+(g(2)x2+ (2)二项展开式的通项公式为T1=C2x2 C8(2x)3x4+C3(2x)2x6+C(2x)x8+Csx10 32x2+80x2804010 ①令r=3,则T1=(-1)C12x2×=-220x2 ·127· ②当r=0,3,6,9,12时,T1是有理项,分别为T1 因式提供x2,其余的3个因式中有1个提供(-x) x2,T=—C2x3=-220x3,T=C2x2=924x,T0= 有2个因式都提供(-2);也可以是从4个因式中选 C2=-220,T3=C1x 3个因式都提供(-x),剩余的1个因式提供(-2) 故x2的系数为C·C(-1)·C2(-2)2+C8(-1)· 例题3]解析(1)(x-)的展开式的通项为T 2)=-48+8 3)x 因为第6项为常 数项,所以当r=5时,有”。2=0,即n=10 随堂·演练落实 (2)由(1)知通项为Tm=C1(-3),令10=21.B解因为(x+2)的 的展开式共有n+6项,所 以n+6=16,所以n=10.故选B项 所以所求的系数为C0(-3)2=405 2D盛(x2)的展开式的通项为T:=Cr (3)由(1)知通项为T+1=C(-3)x 2)Cx3,令6-3r=0,得到r=2,所 所以第4项的二项式系数为C=120,第4项的系 数为C10(-3)=-120×27=-3240 的展开式中常数项为(-2)2C=60.故 变式3解析(1)(x 的展开式的通项为T 选D项 3.解析由n=6可知中间项是第4项,由通项公式可得 C(-2)x2,r≤7,r∈N.令7-2r=3,得r=2,则 展开式中x3的系数为(×(一2)2=84.故选B项 (2)易知(x2-)的展开式的通项为T+1=C 答案-160x3 =(-)Cx,当k=3时,T= 4解析(2x 的展开式的通项为T1=C(2x)° (-2)(x=-2x,所以第4项的二项式系数 为(=84,第4项的系数为 (1)T=(23x3,第4项的二项式系数为C=20. 答案(1)B(284-2 (2)由(1)知第4项的系数为C·23=160 [练习1解析(1)因为(1+x)8的展开式中x2的系数为 (3)令6-3r=