专题05 实数的概念及运算-【高效导学】2021-2022学年七年级数学下学期重难点专题多维突破精讲精练（人教版）

人教版七年级数学下册《第六章 实数》复习专题训练 专题训练五： 实数的有关概念及运算 知识回顾 ★★实数 （1）实数的定义：有理数和无理数统称实数． （2）实数的分类： 实数： 或 实数： ★★实数的性质 （1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． （3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a． 类型一：实数的有关概念及其性质 ◎【典例一】◎（2021春•禹王台区校级月考）的相反数是 　 ，的相反数是 　 ，绝对值是 　 　． 【答案】，，． 【分析】根据相反数和绝对值的定义计算即可． 【解答】解；的相反数是，的相反数是，的绝对值是． 故答案为：，，． ■【变式1】下列说法正确的是（　　） A.有理数、无理数和0统称为实数； B.实数分为正实数和负实数两类； C.无理数包括正无理数、负无理数和0； D.绝对值最小的实数是0 . 【答案】D. 【分析】根据实数的分类，无理数的分类，绝对值的定义解答即可． 【解答】解：A.有理数和无理数统称为实数，原说法错误，故此选项不符合题意； B.实数分为正实数、负实数和0三类，原说法错误，故此选项不符合题意； C.无理数包括正无理数和负无理数，原说法错误，故此选项不符合题意； D.由绝对值的性质可知，绝对值最小的实数是0，原说法正确，故此选项符合题意． 故选：D． ■【变式2】（2021秋•玄武区校级月考）在9.3，﹣24，0，﹣0.33，0.333…，141421356，2π，3.3030030003…（每相邻两个3之间依次多一个0），﹣3.1415中属于整数集合的有 　 　，属于负分数集合的有 　　，属于无理数集合的有 　 　． 【分析】根据实数的分类标准解决此题． 【解答】解：根据整数的定义，整数有﹣24、0； 根据负分数的定义，负分数有﹣0.33； 根据无理数的定义，无理数有2π、3.3030030003…． 故答案为：﹣24、0；﹣0.33；2π、3.3030030003…． ■【变式3】 （2021春•西乡塘区校级月考）已知实数m，n互为倒数，且|m|＝1，则m2﹣2mn的值为（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．0 D．1 【答案】A 【分析】直接利用互为倒数的定义得出mn＝1，再利用绝对值的性质得出m2＝1，进而得出答案． 【解答】解：∵实数m，n互为倒数， ∴mn＝1， ∵|m|＝1，∴m2＝1， ∴m2﹣2mn＝1﹣2＝﹣1． 故选：A． ●方法归纳● 无理数常见的三种类型： （1）开方开不尽的数，如等． （2）特定结构的无限不循环小数，如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）． （3）含有π的绝大部分数，如2π． 注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数． 类型二：实数的运算 ◎【典例二】◎（2022春•源汇区校级月考）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【解答】解：（1） ＝2+2 ； （2） ＝5﹣（﹣2）+1.1﹣（） ＝5+2+1.1+1.25 ＝9.35． ■【变式4】（2022•椒江区校级开学）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【解答】解：（1） ＝﹣1+（﹣3）﹣6 ＝﹣4﹣6 ＝﹣10； （2） ＝22﹣2（﹣4） ＝22﹣24 ＝3． ●方法归纳●实数的运算 1.实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方． 2.在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 【规律方法】实数运算的“三个关键”：①运算法则，②运算顺序，③运算律的使用． 类型三：实数与数轴 ◎【典例三】◎（2022春•赵县月考）如图所示，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，沿过点A的直线折叠，点B落在数轴上点C处，设点C所表示的数为x，求x的值． 【分析】根据沿过点A的直线折叠，点B落在数轴上点C处，得出AC＝AB，结合图形