寒假作业04 等差数列-【我的假期我做主】2022年高二数学必修5+选修2-1寒假作业

　　培根(英国哲学家)说:“数学是打开科学大门的钥匙”． ４３ １２．解　(１)a１＝２,an＝Sn－Sn－１＝２n－１(n≥２)． ∵bn＝ ２ an＋１ , ∴bn＝ １ n ,n≥２,n∈N∗ , ２ ３ ,n＝１．{ (２)∵an＝bn＋１＋bn＋２＋􀆺＋b２n＋１ ＝ １n＋１＋ １ n＋２＋ 􀆺＋ １２n＋１ ∴an＋１－an＝ １ ２n＋２＋ １ ２n＋３－ １ n＋１ ＝ －１(２n＋２)(２n＋３)＜０． ∴{an}是递减数列． 寒假作业四　等差数列 [知识梳理] １．an－an－１　２．a１＋(n－１)d　am＋(n－m)d 　３．am＋an＝２ap [学业测评] １．B ２．A　∵a６＋a８＝２a７,又a３＋a１１＝２a７＝４０． ∴a７＝２０．∴a６－a７＋a８＝２a７－a７＝a７＝ ２０． ３．D　由题意知,a２１＋a１０００＋a２０００＝３(a１＋ １００６d)＝３a１００７＝３０,所以a１００７＝１０,又a１ ＋a２０１３＝２a１００７＝a,所以a＝２０,故选 D． ４．A　设等差数列{an}的公差为d,由an＋１＝ n＋２ n＋１an ,得a２＝ ３ ２a１ ,得a２－a１＝ １ ２a１＝ d,又a１＝２,得d＝１,故选 A． ５．B ６．B　依题意a２＋a４＋a６＋a８＋a１０＝２,所以 a１＋a３＋a５＋a７＋a９＝２－５×２＝－８,所以 f(a１)􀅰f(a２)􀅰f(a３)􀅰 􀆺 􀅰f(a１０)＝ ２a１＋a２＋􀆺＋a１０＝２－６,故选B． ７．１３ 解析　由已知得 a１＋２d＝７ , a１＋４d＝a１＋d＋６,{ 解得 a１＝３, d＝２,{ 所以a６＝a１＋５d＝１３． ８．２n＋１　９．－ １ ２ 　１０．①②③④ １１．解　(１)证明:∵bn＝ １ an 且an＝ an－１ ２an－１＋１ (n∈N∗ ,n≥２) ∴bn＋１＝ １ an＋１ ＝ １an ２an＋１ ＝ ２an＋１ an ∴bn＋１－bn＝ ２an＋１ an － １an ＝２． 又b１＝ １ a１ ＝１, ∴数列{bn}是首项为１,公差为２的等差数 列． (２)由(１)知数列{bn}的通项公式为 bn＝１＋(n－１)×２＝２n－１． 又bn＝ １ an ,∴an＝ １ bn ＝ １２n－１． ∴数列{an}的通项公式为an＝ １ ２n－１． １２．解　(１)证明:由３anan－１＋an－an－１＝０(n ≥２)得 １an － １an－１ ＝３(n≥２)． ∴数列 １an{ }是以１为首项,３为公差的等 差数列． (２)由(１)知 １an ＝１＋３(n－１)＝３n－２,∴an ＝ １３n－２． (３)λan＋ １ an＋１ ≥λ对任意n≥２(n∈N∗ )恒 成立． 即 λ ３n－２＋３n＋１≥λ 对任意n≥２(n∈N∗ ) 恒成立． 整理得λ≤ (３n＋１)(３n－２) ３(n－１) (n≥２,n∈N∗) 令Cn＝ (３n＋１)(３n－２) ３(n－１) 则 Cn＋１ － Cn ＝ (３n＋４)(３n＋１) ３n － (３n＋１)(３n－２) ３(n－１) ＝ (３n＋１)(３n－４) ３n(n－１) ∵n≥２,∴Cn＋１－Cn＞０ ∴{Cn}为递增数列,C２ 最小,且C２＝ ２８ ３ ． 故λ的取值范围为 －∞,２８３( ] ． 寒假作业五　等差数列的 前n项和 [知识梳理] １． n(a１＋an) ２ 　na１＋ n(n－１) ２ d ２．(２)na１＋ n(n－１) ２ d　 d ２n ２＋ a１－ d ２( )n [学业测评] １．B ２．B　由题意知数列{an}为等差数列,an＝Sn －Sn－１＝２n－１０,由５＜２k－１０＜８,k∈N∗ , 得k＝８,故选B． ３．B　４．B　５．A　６．B ７．２n 解析　由a６＝S３＝１２可得{an}的公差d＝ ２,首项a１＝２,故易得an＝２n． ８．５ 解析　∵S２＝S３,∴a３＝S３－S２＝０,∴a１＋ a５＝２a３＝０,∴S５＝ ５(a１＋a５) ２ ＝０ ,得k＝５． ９．５ 解析　由等差数列的性质知 an bn ＝ A２n－１ B２n－１ ＝ １４n＋３８ ２n＋２ ＝ ７n＋１９ n＋１ ＝７＋ １２ n＋１ ,所以当n＝１, ２,３,５,１１时, an bn 为整数,即使得an bn 为整数 的正整数n 的个数是５． １０．４１７８ １１．解　(１)当n≥２时,an＝Sn－Sn－１＝nan－ (n－１)an－１－２(n－１),∴an－an－１＝２(n ≥２), 即数列{an}是以１为首项,２为公差的等差数列, ∴an＝２n－１． (２)Tn＝ １ a１a２ ＋ １a２a３ ＋􀆺＋ １anan＋１ ＝ １１×３＋ １ ３×５＋ １ ５×７