寒假作业14 用向量方法研究立体几何中的度量关系-【我的假期我做主】2022年新教材高二数学寒假作业（北师大版）

　　毕达哥拉斯说:“数支配着宇宙”．４０ ∴GE→􀅰AC→ ＝ １２AB →－ １２AC →－ １２AD →( ) 􀅰AC→ ＝ １２ AB → 􀅰AC→ － １ ２AC →２－ １２AD →􀅰AC→＝－ １２AC →２＝－ １２ ． 答案:－ １２ ９．解析:∵CD→＝CA→＋AB→＋BD→＝AB→－AC→＋BD→, ∴CD→２＝(AB→－AC→＋BD→)２ ＝AB→２＋AC→２＋BD→２－２AB→􀅰AC→＋２AB→􀅰BD→－２AC→􀅰BD→＝１６＋３６ ＋６４＝１１６, ∴|CD→|＝２ ２９,即CD 的长为２ ２９． 答案:２ ２９ １０．解析:设点O 是此正四面体的内切球的球心,半径R＝１． ∵PM→􀅰PN→≤|PM→||PN→|, ∴当点P,M,N 三点共线时,PM→􀅰PN→取得最大值． 当且仅当点P 为正四面体的一个顶点时上式取得最大值, ∴(PM→􀅰PN→)max＝４ ６３ × ２ ６ ３ ＝ １６ ３ ． 答案:１６ ３ １１．解析:(１)连接OD,CD, 且OE→＝λOC→,OA→＝a,OB→＝b,OC→＝c, ∴DE→＝OE→－OD→＝λOC→－ １２ (OA →＋OB→)＝λc － １２a－ １ ２b． (２)根据题意,点D 是棱AB 的中点,则|OD|＝ ３ ２ ,且cos∠DOE＝ ３３ , |DE→|２＝|OE→－OD→|２＝OE→２－２OE→􀅰OD→＋OD→２＝λ２－２×λ×１× ３２ ×cos∠DOE＋ ３４ ＝λ ２－λ＋ ３４ ＝ λ－ １ ２( ) ２ ＋ １２ , 则当λ＝ １２ 时,|DE→|２ 取得最小值 １２ , 则|DE→|的最小值为 ２２ ,即DE 的最小值为 ２ ２ ． １２．解析:设AB→＝p,AC→＝q,AD→＝r． 由题意,可知|p|＝|q|＝|r|＝a,且p,q,r三向量两两夹角均为６０°． (１)证明:MN→＝AN→－AM→＝ １２ (AC →＋AD→)－ １２AB →＝ １２ (q＋r－p), ∴MN→􀅰AB→＝ １２ (q＋r－p)􀅰p＝ １ ２ (q􀅰p＋r􀅰p－p２)＝ １２ (a２􀅰 cos６０°＋a２􀅰cos６０°－a２)＝０, ∴MN⊥AB,同理可证 MN⊥CD． ∴MN 为AB 与CD 的公垂线． (２)由(１)可知MN→＝ １２ (q＋r－p), ∴|MN→|２＝ １４ (q＋r－p) ２＝ １４ [q２＋r２＋p２＋２(q􀅰r－q􀅰p－r􀅰 p)]＝ １４ a ２＋a２＋a２＋２ a ２ ２ － a２ ２ － a２ ２( )[ ] ＝ １ ４ ×２a ２＝a ２ ２ , ∴|MN→|＝ ２２a,∴MN 的长度为 ２ ２a． (３)设向量AN→与MC→的夹角为θ, ∵AN→＝ １２ (AC →＋AD→)＝ １２ (q＋r),MC →＝AC→－AM→＝q－ １２p, ∴AN→􀅰MC→＝ １２ (q＋r)􀅰 q－ １ ２p( ) ＝ １２ q ２－ １２q 􀅰p＋r􀅰q－ １２r 􀅰p( ) ＝ １２ a ２－ １２a ２􀅰cos６０°＋a２cos６０°－ １２a ２􀅰cos６０°( ) ＝ １２ a ２－a ２ ４ ＋ a２ ２ － a２ ４( ) ＝ a２ ２ ． 又∵|AN→|＝|MC→|＝ ３２a, ∴AN→􀅰MC→＝|AN→|􀅰|MC→|􀅰cosθ＝ ３２a􀅰 ３ ２a 􀅰cosθ＝a ２ ２ , ∴cosθ＝ ２３ ． ∴向量AN→与MC→的夹角的余弦值为 ２３ ． 从而异面直线AN 与MC 所成角的余弦值为 ２３ ． 寒假作业十一　空间向量基本定理 [知识梳理] 　xa＋yb＋zc　基 [学业测评] １．C　由p＝２a＋b,q＝２a－b,得a＝ １４p＋ １ ４q ,所以a,p,q共面,故a, p,q不能构成空间的一组基,排除 A;因为b＝ １２p－ １ ２q ,所以b,p,q 共面,故b,p,q不能构成空间的一组基,排除 B;因为a＋b＝ ３４p－ １ ４q ,所以a＋b,p,q共面,故a＋b,p,q不能构成空间的一组基,排 除 D． ２．D　由于B１M→＝B１B→＋BM→＝B１B→＋ １２ (BA →＋BC→)＝－ １２a＋ １ ２b＋c． ３．C　若MA→,MB→,MC→为空间的一组基向量,则 M,A,B,C 四点不共面． 选项 A中,因为 １３ ＋ １ ３ ＋ １ ３ ＝１ ,所以点M,A,B,C共面;选项B中, MA→≠MB→＋MC→,但可能存在实数λ,μ使得MA→＝λMB→＋μMC→,所以 点 M,A,B,C可能共面;选项 D中,四点 M,A,B,C显然共面．只有 C 项中能成为空间一组基． ４．BCD　由a,b,c是空间的一组基,知: 在 A中,若a⊥b,b⊥