寒假作业18 离散型随机变量及其分布列、均值与方差-【我的假期我做主】2022年新教材高二数学寒假作业（北师大版）

　　克莱因(美国数学家)说:“数学是一种理性的精神,使人类的思维得以运用到最完善的程度”．４４ 法二:在三棱台DEFＧABC 中, 由BC＝２EF,H 为BC 的中点, 可得 BH∥EF,BH＝EF, 所以四边形BHFE 为平行四边形, 可得BE∥HF． 在△ABC中,G 为AC 的中点,H 为BC 的中点, 所以GH∥AB． 又GH∩HF＝H,所以平面FGH∥平面ABED． 因为 BD⊂平面ABED, 所以 BD∥平面FGH． (２)设AB＝２,则CF＝１, 在三棱台DEFＧABC 中, G 为AC 的中点, 由DF＝ １２AC＝GC , 可得 四边形DGCF 为平行四边形, 因此DG∥FC． 又FC⊥平面ABC, 所以DG⊥平面ABC． 在△ABC中,由AB⊥BC,∠BAC＝４５°,G 是AC 的中点, 所以AB＝BC,GB⊥GC, 因此GB,GC,GD 两两垂直． 以G 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 所以G(０,０,０),B(２,０,０),C(０,２,０),D(０,０,１)． 可得 H ２ ２ ,２ ２ ,０( ) ,F(０,２,１), 故GH→＝ ２ ２ ,２ ２ ,０( ) ,GF→＝(０,２,１), 设n＝(x,y,z)是平面FGH 的一个法向量,则 由 n􀅰GH→＝０, n􀅰GF→＝０,{ 可得 x＋y＝０, ２y＋z＝０,{ 可得平面FGH 的一个法向量n＝(１,－１,２)． 因为GB→是平面ACFD 的一个法向量,GB→＝(２,０,０), 所以cos‹GB→,n›＝ GB →􀅰n |GB→|􀅰|n|＝ ２ ２ ２ ＝ １２ , 所以平面FGH 与平面ACFD 所成二面角的大小为６０°． 寒假作业十五　计数原理 [知识梳理] １．m１＋m２＋􀆺＋mn　２．m１􀅰m２􀅰􀆺􀅰mn [学业测评] １．B　当a＝０时,关于x 的方程为２x＋b＝０,此时有序数对(０,－１), (０,０),(０,１),(０,２)均满足要求;当a≠０时,Δ＝４－４ab≥０,ab≤１,此 时满足要求的有序数对为(－１,－１),(－１,０),(－１,１),(－１,２),(１, －１),(１,０),(１,１),(２,－１),(２,０)．综上,满足要求的有序数对共有 １３个． ２．C　第１封信投到信箱中有４种投法;第２封信投到信箱中也有４种 投法;第３封信投到信箱中也有４种投法．只要把这３封信投完,就做 完了这件事情,由分步乘法计数原理可得共有４３ 种投法． ３．C　分两种情况: ①A,C不同色,先涂A 有４种,C有３种,E 有２种,B,D 各有１种,有 ４×３×２＝２４种涂法; ②A,C同色,先涂A 有４种,E 有３种,C有１种,B,D 各有２种,有４ ×３×２×２＝４８种涂色． 故共有２４＋４８＝７２种涂色方法． ４．A　分三步,先插第一个新节目,有７种方法,再插第二个新节目,有８ 种方法,最后插第三个节目,有９种方法．故共有７×８×９＝５０４种不 同的插法． ５．D　当公比为２时,等比数列可为１,２,４或２,４,８;当公比为３时,等 比数列可为１,３,９;当公比为 ３２ 时,等比数列可为４,６,９．同理,公比 为 １ ２ ,１ ３ ,２ ３ 时,也有４个．故共有８个等比数列． ６．BC　根据题意,四个不同的小球放入三个分别标有１~３号的盒子 中,且没有空盒,则三个盒子中有１个中放２个球,剩下的２个盒子中 各放１个, 有２种解法: (１)分２步进行分析: ①先将四个不同的小球分成３组,有 C２４ 种分组方法; ②将分好的３组全排列,对应放到３个盒子中,有 A３３ 种放法; 则没有空盒的放法有 C２４A３３ 种; (２)分２步进行分析: ①在４个小球中任选２个,在３个盒子中任选１个,将选出的２个小 球放入选出的小盒中,有 C１３C２４ 种情况; ②将剩下的２个小球全排列,放入剩下的２个小盒中,有 A２２ 种放法． 则没有空盒的放法有 C１３C２４A２２ 种． 由此可知,A,D错误． ７．解析:分两类情况讨论:第１类,奇偶奇,个位有３种选择,十位有２种 选择,百位有２种选择,共有３×２×２＝１２个奇数;第２类,偶奇奇,个 位有３种选择,十位有２种选择,百位有１种选择,共有３×２×１＝ ６个奇数．根据分类加法计数原理知,共有１２＋６＝１８个奇数． 答案:１８ ８．解析:分３类:第一类,直接由A 到O,有１种走法; 第二类,中间过一个点,有A→B→O 和A→C→O２种不同的走法; 第三类,中间过两个点,有A→B→C→O和A→C→B→O２种不同的走法． 由分类加法计数原理可得共有１＋２＋２＝５种不同的走法． 答案:５ ９．解析:一个二次函数对应着a,b,c(a≠０)的一组取值,a 的取法有３ 种,b的取法有３种,c的取法