6.1～6.4 （平面向量及其线性运算、向量基本定理、向量的坐标）（共3个课时）（题型归纳+课后作业） -2021-2022学年高一数学同步精讲精练（人教B版2019必修第二册）

第六章 平面向量初步 6.1 平面向量及其线性运算 题型归纳 题型一.平面向量的概念 1．下面有5个命题： ①单位向量的模都相等． ②长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量． ③若与满足||＞||且与同向，则． ④两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同． ⑤对任意非零向量，必有||≤||+||． 其中正确的命题序号是（　　） A．①③⑤ B．④⑤ C．①④⑤ D．②④ 【解答】解：①单位向量的模均为1，故①正确； ②共线包括同向和反向，故②不正确； ③向量不能比较大小，③不正确； ④根据向量的表示，④正确； ⑤由向量加法的三角形法则知⑤正确． 故选：C． 2．下列叙述中错误的是（　　） A．若，则 B．已知非零向量与且，则与的方向相同或相反 C．若∥，∥，则∥ D．对任一非零向量，是一个单位向量 【解答】解：对于A，向量是矢量，不能比较大小，只有相等向量或相反向量，所以选项A错误； 对于B，根据两非零向量共线的定义，即可判断与的方向相同或相反，所以选项B正确； 对于C，当时，由∥，∥，不一定能得出∥，所以选项C错误； 对于D，向量时，是单位向量，所以选项D正确． 故选：AC． 3．如图所示，△ABC中，三边长均不相等，E、F、D分别是AC，AB，BC的中点． （1）写出与共线的向量； （2）写出与长度相等的向量； 【解答】解：（1）∵E，F分别是AC，AB的中点， ∴EF∥BC， ∴与共线的向量为，，，，，，； （2）∵E，F，D分别是AC，AB，BC的中点， ∴EFBC，BD＝DCBC， ∴EF＝BD＝DC． ∵AB，BC，AC均不相等， ∴与长度相等的向量为，，，，； 4．如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列判断错误的是（　　） A． B．∥ C． D． 【解答】解：由图可知，，但不共线，故， 故选：D． 5．如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，若||＝3，则向量的模为　6　． 【解答】解：在▱ABCD和▱ABDE中， 易知， ∴，∴E，D，C三点共线， ∴||＝||+||＝2||＝6． 故答案为：6． 6．如图，平行四边形ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点，设点集S＝{A，B，C，D，O}，向量集合T＝{|M，N∈S，且M，N不重合}，试求集合T中元素的个数． 【解答】解：在A，B，C，D，O五个点中任取两个点并确定起始点，则共有 5×4＝20（个）有向线段，即 共20个， 且 ，，，，，，，共8个， 又由集合中元素的互异性， 集合T中元素的个数为20﹣8＝12， 故答案为：12． 题型二.向量的加法与减法 1．判断下列命题正确与否： （1）向量是共线向量，则A、B、C、D在同一直线上； （2）向量； （3）； （4）如果非零向量的方向相同或相反，那么的方向必与之一的方向相同． 【解答】解：（1）不正确，因为向量是自由向量，只要两个向量方向相同或相反，这两个向量就是共线向量或说是平行向量， （2）不正确，因为两个向量平行时对于向量若不做限制，那么这两个向量中可能有零向量，零向量的方向是任意的，不能说相同或相反． （3）正确，首尾相连的向量之和是零向量． （4）不正确，共线的两个非零向量向量相加，得到的和向量为零向量时期方向不一定与这两个向量之一方向相同． 2．如图，O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量． （1）；（2）；（3）． 【解答】解：（1）；（2）；（3），作图如下： ． 3．如图，在△ABC中，D，E分别为边AC，BC上的任意一点，O为AE，BD的交点，已知，，，，用，，，表示向量． 【解答】解：在△OBE中，， ∴（）． 4．设M是线段BC的中点，点A在直线BC外，，，则　2　． 【解答】解：∵ ∴以AB、AC为邻边作平行四边形，可得对角线AD与BC长度相等 因此，四边形ABDC为矩形 ∵M是线段BC的中点， ∴AM是Rt△ABC斜边BC上的中线，可得 ∵，得2＝16，即4 ∴2 故答案为：2 5．在边长为1的正方形ABCD中，设，，，||＝　0　． 【解答】解：如图， 设，，， ||＝|（）|＝||＝||＝0． 故答案为：0． 6．设△ABC的外心为O，重心为G，取点H，使．求证： （Ⅰ）点H为△ABC的垂心； （Ⅱ）△ABC的外心O、重心G、垂心H在同一条直线上． 【解答】证明：（Ⅰ）∵O为△ABC的外心，∴， ∵，∴， ∴ ∴，即AH⊥BC， 同理BH⊥AC，CH⊥AB， ∴H为△ABC的垂心； （Ⅱ）延长AG交BC于D，则D为BC中点，∴， ∵G为△ABC之重心，∴ ∵， ∴，∴， ∴O，G，H三点共线． 题型三.数乘向量、向量的线性运算 1．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是（　　） A．的方向与的方向相反 B．||≥||