6.3.1平面向量基本定理分层作业-《新教材 新思维高中数学》-2021-2022学年下学期高一数学同步教学（人教A版（2019） 必修第二册）

6.3.1平面向量基本定理课后习题 【基础达标】 1．如果{e1，e2}是平面α内所有向量的一个基底，λ，μ是实数，判断下列说法是否正确，并说明理由. (1)若λ，μ满足λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0； (2)对于平面α内任意一个向量a，使得a＝λe1＋μe2成立的实数λ，μ有无数对； (3)线性组合λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量； (4)当λ，μ取不同的值时，向量λe1＋μe2可能表示同一向量. 解　(1)正确.若λ≠0，则e1＝－e2，从而向量e1，e2共线，这与e1，e2不共线相矛盾，同理可说明μ＝0. (2)不正确.由平面向量基本定理可知λ，μ唯一确定. (3)正确.平面α内的任一向量a可表示成λe1＋μe2的形式，反之也成立. (4)不正确.结合向量加法的平行四边形法则易知，当λe1和μe2确定后，其和向量λe1＋μe2便唯一确定. 规律方法　(1)对于平面内任一向量都可以用两个不共线的向量来表示；反之，平面内的任一向量也可以分解成两个不共线的向量的和的形式. (2)向量的基底是指平面内不共线的两个向量，事实上若{e1，e2}是基底，则必有e1≠0，e2≠0且e1与e2不共线，如0与e1，e1与2e1，e1＋e2与2(e1＋e2)等，均不能构成基底. 2．在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，以{b，c}作为基底，则等于(　　) A.b＋c B.c－b C.b－c D.b＋c 答案　A 解析　∵＝2，∴－＝2(－)，∴－c＝2(b－)，∴＝c＋b.故选A. 3．已知非零向量，不共线，且2＝x＋y，若＝λ(λ∈R)，则x，y满足的关系式是(　　) A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0 C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0 答案　A 解析　由＝λ，得－＝λ(－)，即＝(1＋λ)－λ.又2＝x＋y， 所以消去λ得x＋y＝2. 4.如图，在平行四边形ABCD中，设对角线＝a，＝b，试用基底{a，b}表示，. 解　法一　由题意知， ＝＝＝a， ＝＝＝b. 所以＝＋＝－＝a－b， ＝＋＝a＋b. 法二　设＝x，＝y，则＝＝y， 又则 所以x＝a－b，y＝a＋b， 即＝a－b，＝a＋b. 5．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________． 答案　 解析　如图，＝＋＝＋ ＝＋(－)＝－＋， 又∵与不共线， ∴λ1＝－，λ2＝，λ1＋λ2＝－＋＝. 【综合提升】 6.如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值. 解　设＝e1，＝e2， 则＝＋＝－3e2－e1， ＝＋＝2e1＋e2. ∵A，P，M和B，P，N分别共线， ∴存在实数λ，μ使得＝λ＝－λe1－3λe2， ＝μ＝2μe1＋μe2. 故＝＋＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2. 而＝＋＝2e1＋3e2， 由平面向量基本定理， 得解得 ∴＝，＝， ∴AP∶PM＝4，BP∶PN＝. 学科网（北京）股份有限公司 $6.3.1平面向量基本定理课后习题 【基础达标】 1．如果{e1，e2}是平面α内所有向量的一个基底，λ，μ是实数，判断下列说法是否正确，并说明理由. (1)若λ，μ满足λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0； (2)对于平面α内任意一个向量a，使得a＝λe1＋μe2成立的实数λ，μ有无数对； (3)线性组合λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量； (4)当λ，μ取不同的值时，向量λe1＋μe2可能表示同一向量. 2．在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，以{b，c}作为基底，则等于(　　) A.b＋c B.c－b C.b－c D.b＋c 3．已知非零向量，不共线，且2＝x＋y，若＝λ(λ∈R)，则x，y满足的关系式是(　　) A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0 C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0 4.如图，在平行四边形ABCD中，设对角线＝a，＝b，试用基底{a，b}表示，. 5．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________． 【综合提升】 6.如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值. 学科网（北京）股份有限公司 $