9.4 乘法公式-【帮课堂】2021-2022学年七年级数学下册同步精品讲义（苏科版）

第9章 整式乘法与因式分解 9.4 乘法公式 目标导航 课程标准 课标解读 1.能推导乘法公式； 2.了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算。 1.理解并掌握平方差公式、完全平方公式的推导； 2.能够运用平方差公式、完全平方公式进行简单的计算。 知识精讲 知识点01 完全平方公式 上图中正方形的面积 或者 联立得： （1）符号表述：两数和的完全平方公式 两数差的完全平方公式 （2）语言描述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们积的2倍。 （3）①公式中的和可以是实数，也可以是单项式或多项式；②公式可以逆运用； 【即学即练1】已知a+b＝3，ab＝2，求下列各式的值： （1）a2+b2； （2）a﹣b． 【答案】（1）5；（2）±1 【分析】（1）根据完全平方公式变形，再代入求出即可； （2）先求出（a﹣b）2的值，即可求出答案． 【解析】解：（1）∵a+b＝3，ab＝2， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5； （2）∵a+b＝3，a2+b2＝5，ab＝2， ∴a﹣b＝． 知识点02 平方差公式 左图中； 右图中 联立得：= （1）符号表述： （2）语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差； 【微点拨】 ①公式中的和可以是实数，也可以是单项式或多项式； ②公式可以逆运用； 【即学即练2】先化简，再求值：，其中，． 【答案】，． 【分析】先利用完全平方公式与平方差公式计算整式的乘法，再合并同类项，把代入化简后的代数式即可得到答案. 【解析】解：原式 ， 当，时，原式． 能力拓展 考法01 完全平方公式及其应用 【典例1】图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图b的形状拼成一个正方形． （1）你认为图b中的阴影部分的正方形的边长等于______． （2）请用两种不同的方法求图b中阴影部分的面积． （3）观察图b，你能写出以下三个代数式之间的等量关系吗？代数式：，，mn． （4）若x，y都是有理数，，，求的值． 【答案】（1）；（2），；（3）能，；（4） 【分析】（1）观察得到长为m，宽为n的长方形的长宽之差即为阴影部分的正方形的边长； （2）可以用大正方形的面积减去4个长方形的面积得到图2中的阴影部分的正方形面积；也可以直接利用正方形的面积公式得到； （3）利用（2）中图2中的阴影部分的正方形面积得到（m+n）2-4mn=（m-n）2； （4）根据（3）的结论得到（x-y）2=（x+y）2-4xy，然后把x-y=4，xy=5代入计算． 【解析】解：（1）由题意得：图b中的阴影部分的正方形的边长等于． 故答案为：； （2）由题意得：，； （3）观察图b，可得三个代数式之间的等量关系为：． （4）∵，， ∴， ∴． 考法02 平方差公式及其应用 【典例2】自从用字母表示数，我们发现表达有关数和数量的关系更加简洁明了，这样更有助于发现更多有趣的结论，请你按要求试一试． （1）填空： ① = ；（3+2）×（3-2）= ． ② = ；（2+5）×（2-5）= ． （2）猜一猜：与（a+b）（a-b）的大小关系是 ． （3）利用你发现的结论算一算：． 【答案】（1）①5，5；②-21，-21；（2）；（3）-8080 【分析】（1）直接计算各式即可得到结果； （2）根据（1）中的结果猜想得到两式关系即可； （3）利用得出的结论，将原式化简，计算即可得到结果． 【解析】解：（1）①；； ②；； 故答案是：5，5；，； （2）与大小关系是相等； 故答案是：； （3）． 分层提分 题组A 基础过关练 1．若，，则的值为（ ） A．1 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】，代入计算即可. 【解析】解：∵ ∴． 故选：C 2．下列计算正确的是（　　） A．a2•a3＝a6 B．（2a）3＝6a3 C．（a+b）2＝a2+b2 D．（﹣a2）3＝﹣a6 【答案】D 【分析】A：应用同底数幂乘法法则进行计算即可得出答案；B：应用积的乘方法则进行计算即可得出答案C：应用完全平方公式进行计算即可得出答案；D：应用多项式加法法则进行计算即可得出答案． 【解析】解：A：因为a2•a3=a2+3=a5，所以A选项不符合题意；B：因为（2a）3=8a3，所以B选项不符合题意； C：因为（a+b）2=a2+2ab+b2，所以C选项不符合题意；D：（-a2）3＝-a6，所以D选项正确．故选：D． 3．已知，则代数式的值为（ ） A．1 B． C． D．6 【答案】C 【分析】根据平方差公式解答即可． 【解析】解：∵， ∴x2-y2=（x+y