6.2.1 空间向量基本定理（备作业)-【上好课】2021-2022学年高二数学同步备课系列（苏教版2019选择性必修第二册）

6.2.1空间向量基本定理 一、单选题 1．如图，空间四边形OABC中，，，，点M在上，且，点N为BC中点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用空间向量运算求得正确答案. 【详解】 . 故选：B 2．设向量是空间一个基底，则一定可以与向量构成空间的另一个基底的向量是　　 A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】 根据空间向量的一组基底是：任意两个不共线，且不为零向量，三个向量不共面，从而判断出结论． 【详解】 解：由题意和空间向量的共面定理， 结合， 得与、是共面向量， 同理与、是共面向量， 所以与不能与、构成空间的一个基底； 又与和不共面， 所以与、构成空间的一个基底． 故选：． 3．已知是一个空间的基底，向量，，，，若则x，y，z分别为（ ）． A．，， B．，1， C．，1， D．，1， 【答案】A 【分析】 利用空间向量的基本定理即可求解. 【详解】 ， ，解得, 故选：A 4．如图，在四棱锥中，平面，M，N分别为，上的点，且，，若，则的值为（ ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】 以为基底表示，由此求得，进而求得. 【详解】 ， 所以. 故选：B 5．在平行六面体中，是面的中心，若．给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】 根据空间向量的线性运算表示向量，可得各数值，逐一判断即可. 【详解】 如图所示： ， 即，，， 所以，①正确； ，②正确； ，③正确； ，④正确； ，⑤错误； 故选：D. 6．已知是空间的一个基底，向量，，，若能作为基底，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据空间向量基底的定义，结合共面向量定理，运用假设法进行求解即可. 【详解】 若，，共面，由共面向量定理知，存在实数x，y，使得， 即．因为，，不共面，所以，，，解得，，，即当时，，此时不能作为基底，所以若能作为基底，则实数满足的条件是． 故选：B 二、多选题 7．下列关于空间向量的命题中，正确的有（ ） A．若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则∥； B．若非零向量，，满足，，则有∥； C．若，，是空间的一组基底，且，则，，，四点共面； D．若，，是空间的一组基底，则向量，，也是空间一组基底； 【答案】ACD 【分析】 根据空间向量基本定理，能作为基底的向量一定是不共面的向量，由此分别分析判断即可 【详解】 对于A，若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则可得向量，是共线向量，即∥，所以A正确， 对于B，若非零向量，，满足，，则向量与不能确定，可能平行，所以B错误， 对于C，若，，是空间的一组基底，且，则由空间向量基本定理可得，，，四点共面，所以C正确， 对于D，因为，，是空间的一组基底，所以对于空间中的任意一个向量，存在唯一的实数组，使，所以向量，，也是空间一组基底，所以D正确， 故选：ACD 8．(多选)下列说法正确的是（ ） A．若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则共线 B．空间的基底有且仅有一个 C．两两垂直的三个非零向量可以构成空间的一个基底 D．基底中基向量与基底中基向量对应相等 【答案】AC 【分析】 根据空间向量基本定理判断选项可解. 【详解】 对于A：两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则共线，故 A正确； 对于B：空间基底有无数个，故B错误； 对于C项显然正确；D项中因为基底不唯一，所以D错. 故选：AC 三、填空题 9．如图，在平行六面体中，，，则___． 【答案】 【分析】 利用平方的方法求得. 【详解】 ， ， 所以 故答案为： 10．已知是空间的一个基底，若，则________. 【答案】0 【分析】 根据空间向量基本定理确定各系数均为0． 【详解】 ∵是空间的一个基底，∴，，为不共面向量. 又∵，∴，∴. 故答案为：0． 【点睛】 本题考查空间向量基本定理，即设是空间的一个基底，则对空间任一向量存在唯一的实数对，使得． 11．自然界中，构成晶体的最基本的几何单元称为晶胞，其形状一般是平行六面体，具体形状大小由它的三组棱长a、b、c及棱间交角、、（合称为“晶胞参数”）来表征.如图是某种晶体的晶胞，其中，，，，，则该晶胞的对角线的长为__________. 【答案】 【分析】 数形结合以及使用向量的方法，可得，然后先平方再开方可得结果. 【详解】 如图所示： 所以 依题可知：， 所以 所以 则，故 故答案为： 12．已知，，且､､不共面，若，则___________. 【答案】 【分析】 根据，且､､不共面可得，存在使得，根据向量相等可列出方程解出. 【详解】 解：且，， 即， 又､