第06讲 立方根与实数-【寒假自学课】2022年七年级数学寒假精品课（人教版）

第06讲 立方根与实数 【学习目标】 1.了解立方根的概念，会表示一个数的立方根. 2.了解开立方与立方互为逆运算，会用立方运算求某些数的立方根. 3.体会一个数的立方根的唯一性. 4.分清一个数的立方根与平方根的区别. 5.了解无理数和实数的概念，知道实数和数轴上的点一一对应. 6.了解实数的相反数、倒数、绝对值的意义. 7.了解在有理数范围内的运算及运算法则、运算性质等在实数范围内仍然成立，能熟练地进行实数运算. 8.在进行实数的运算时，可灵活选择运算律进行简便计算. 【基础知识】 一、立方根 1.定义：如果一个数的 等于a，那么这个数叫做a的立方根或 .即如果x3=a，那么 叫做 的立方根. 2.表示和读法：数a的立方根用符号“ ”表示，读作“ ”. 3.性质： (1)正数的立方根是 ，负数的立方根是 ，0的立方根是 . (2)互为相反数的两个数的立方根：如果两个数互为相反数，那么它们的立方根也 . 即：= . 二、开立方 1.定义：求一个数a的 的运算. 2.立方和开立方的关系：互为 . 3.一个数立方和开立方： 一个数先开立方，再立方，或者先立方再开立方，仍得原数.即 . 【概念理解】 1.判断对错： (1)任何一个数都有立方根. ( ) (2)64的立方根是±4. ( ) 2.一个数的立方根是它本身，则这个数是 ( ) A.1　　　　　　　　　 B.0或1 C.-1或1　　　　　　 D.1，0或-1 三、无理数 是无理数. 四、实数 1.定义： 和 的统称. 2.分类： (1)按定义分类： 3.实数与数轴： 实数与数轴上的点是 关系. 4.实数的相反数、绝对值和倒数： (1)实数a的相反数是 . (2)一个正数的绝对值是 ；一个负数的绝对值是它的 ；0的绝对值是0. 即|a|= (3)当a≠0时，a的倒数是 . 【自我诊断】 1.判断对错： (1)无限小数一定是无理数 ( ) (2)无理数就是开方开不尽的数 ( ) (3)带根号的数是无理数 ( ) 2.下列实数中，是无理数的为 ( ) A. 　　　B. 　　　C.0　　　D.-3 3.小于的正整数有 . 【考点剖析】 考点一：立方根的定义、性质及其求法 例1．(1)求下列各数的立方根 ①729； ② ③ ④ (2)求下列各式的值 ① ② ③ 【注意】 求一个数立方根的基本方法 (1)定义法：求一个数a的立方根通常用立方运算，先找出立方等于a的数，写出立方式，再由立方式写出a的立方根的值. (2)借助计算器：直接利用计算器求一个数a的立方根. 考点二：立方根的应用 例2．已知一个正方体的体积是1000cm3，现在要在它的8个角上分别截去8个大小相同的小正方体，使截去后余下的体积是488cm3，问截得的每个小正方体的棱长是多少？ 【注意】 应用立方根解决与体积有关的实际问题的一般思路 (1)把实际问题抽象成数学问题. (2)根据题意列出方程，利用立方根的定义求出方程的解. 考点三：无理数的判定及实数的分类 例3．将下列各数填入相应的横线上： 整数:{ …} 有理数: { …} 无理数: { …} 负实数: { …}. 【注意】 1.无理数的“三种表现形式” (1)开方开不尽的数，如等. (2)具有特定意义的数，如π等. (3)具有特殊结构的数，如5.252252225…(两个5之间依次多一个2)等. 2.对无理数的“四种错误认识” (1)带根号的数都是无理数. (2)无理数是开方开不尽的数. (3)分数是无理数. (4)无限小数是无理数. 考点四：实数的性质及其应用 例4．若互为相反数，且x≠0，y≠0，求的值. 【注意】 实数的有关性质 (1)相反数：a与b互为相反数⇔a+b=0. (2)绝对值：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.即|a|= (3)倒数：如果a表示一个非零实数，那么a与(a≠0)互为倒数. 【真题演练】 1．-64的立方根是 （ ） A．-4 B． C． D．-2 2．下列说法中，不正确的是（ ） A．是的算术平方根 B．是的平方根 C．是的算术平方根 D．是的立方根 3．x是9的平方根，y是64的立