6.1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理分层作业解析版【新教材 新思维高中数学】-2021-2022学年上学期高二数学同步教学（人教A版（2019）选择性必修第三册）

6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 一、选择题 1.某同学从4本不同的科普杂志，3本不同的文摘杂志，2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读，则不同的选法共有(　　) A.24种 B.9种 C.3种 D.26种 答案　B 解析　不同的杂志本数为4＋3＋2＝9，从其中任选一本阅读，共有9种选法. 2.已知x∈{2，3，7}，y∈{－31，－24，4}，则(x，y)可表示不同的点的个数是(　　) A.1 B.3 C.6 D.9 答案　D 解析　可分为两步完成：第一步，在集合{2，3，7}中任取一个值x有3种方法；第二步，在集合{－31，－24，4}中任取一个值y有3种方法.根据分步乘法计数原理知，有3×3＝9(个)不同的点. 3.某体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，小李到体育场看比赛，则他进、出门的方案有(　　) A.12种 B.7种 C.14种 D.49种 答案　D 解析　完成进、出体育场门这件事，需要分两步，第一步进体育场，第二步出体育场. 第一步进门共有4＋3＝7(种)方法， 第二步出门共有4＋3＝7(种)方法. 由分步乘法计数原理知，进、出门的方案有7×7＝49(种). 4.5名同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有(　　) A.10种 B.20种 C.25种 D.32种 答案　D 解析　每位同学限报其中的一个小组，各有2种报名方法，根据分步乘法计数原理，不同的报名方法共有25＝32(种). 5.如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”.在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是(　　) A.60 B.48 C.36 D.24 答案　B 解析　长方体的6个表面构成的“平行线面组”有6×6＝36(个)，另外含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”有6×2＝12(个)，所以共有36＋12＝48(个). 二、填空题 6.已知a∈{2，4，6，8}，b∈{3，5，7，9}，则能使logab>1的对数值有__________个. 答案　9 解析　分四类，当a＝2时，b取3，5，7，9四种情况； 当a＝4时，b取5，7，9三种情况； 当a＝6时，b取7，9两种情况； 当a＝8时，b取9一种情况， 所以总共有4＋3＋2＋1＝10种，又log23＝log49， 所以对数值有9个. 7.用0到9这十个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为__________. 答案　328 解析　由题意知本题是一个分类计数问题. 若个位数字为0，则前两位的排法种数为9×8＝72； 若个位数字不为0，则确定个位数字有4种方法， 确定百位数字有8种方法，确定十位数字有8种方法， 所以排法种数为4×8×8＝256. 所以可以组成256＋72＝328(个)没有重复数字的三位偶数. 8.如图所示，在A，B间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通.今发现A，B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有__________种. 答案　13 解析　按照焊接点脱落的个数进行分类： 第1类，脱落1个，有1，4，共2种； 第2类，脱落2个，有(1，4)，(2，3)，(1，2)，(1，3)，(4，2)，(4，3)，共6种； 第3类，脱落3个，有(1，2，3)，(1，2，4)，(2，3，4)，(1，3，4)，共4种； 第4类，脱落4个，有(1，2，3，4)，共1种. 根据分类加法计数原理，共有2＋6＋4＋1＝13(种)焊接点脱落的情况. 三、解答题 9.用0，1，2，3，4，5这6个数字组成无重复数字的四位数，若把每位数字比其左邻的数字小的数叫做“渐降数”，求上述四位数中“渐降数”的个数. 解　分三类： 第一类，千位数字为3时，要使四位数为“渐降数”，则四位数只有3 210，共1个； 第二类，千位数字为4时，“渐降数”有4 321，4 320，4 310，4 210，共4个； 第三类，千位数字为5时，“渐降数”有5 432，5 431，5 430，5 421，5 420， 5 410，5 321，5 320，5 310，5 210，共10个. 由分类加法计数原理，得共有1＋4＋10＝15(个)“渐降数”. 10.王华同学有课外参考书若干本，其中有5本不同的外语书，4本不同的数学书，3本不同的物理书，他欲带参考书到图书馆阅读. (1)若他从这些参考书中带1本去图书馆，则有多少种不同的带法？ (2)若带外语、数学、物理参考书各1本，则有多少种不同的带法？ (3)若从这些参考书中选2本不同学科的参考书带到图书馆，则有多少种不同的带法？ 解　(1)完成的事情是带一本书，无论带外语书，还是数学书、物理书，事情都