专题10 数列恒成立求参与不等式证明-【备考集训】2021-2022学年高二数学上学期专题训练+期中期末全真模拟卷(人教A版2019选择性必修第一册)

专题10 数列恒成立求参与不等式证明 本节课知识点目录： 1、 先求和后放缩型证明数列不等式； 2、 先放缩后求和型证明数列不等式。 3、 求和后利用函数单调性证明数列不等式 4、 分奇偶放缩求和证明数列不等式 5、 通项放缩累加法证明数列不等式 6、 无理根式型放缩裂项证明典型题 7、 恒成立之分类讨论求参 8、 恒成立之参变分离求参 9、 恒成立之利用单调性求参 10、 恒成立之“单峰平底”数列求参 11、 恒成立之分奇偶讨论求参 知识与技巧典型题一：先求和后放缩型证明不等式 已知等差数列的公差为，等差数列的公差为，设，分别是数列，的前项和，且，，. （1）求数列，的通项公式； （2）设，数列的前项和为，证明：. 知识与技巧典型题二：先放缩后求和型证明不等式 已知数列满足，. （1）证明：数列为等差数列； （2）设，证明：. 知识与技巧典型题三：求和后利用函数单调性证明不等式 已知数列{an}满足a1＝1，a2＝4，且对任意m，n，p，q∈N*，若m＋n＝p＋q，则有am＋an＝ap＋aq. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设数列的前n项和为Sn，求证：. 知识与技巧典型题四：分奇偶先放缩再求和 已知数列的前项和为，且满足，（）． （Ⅰ）求的值，并求数列的通项公式； （Ⅱ）设数列的前项和为，求证：（）． 知识与技巧典型题五：通项放缩累加法证明不等式 已知正项数列满足，（，）. （1）写出，，并证明数列是等差数列； （2）设数列满足，，求证：. 知识与技巧典型题六：无理根式放缩裂项典型 已知正项数列的前项和为，满足． （1）求数列的前项和； （2）记，证明：． 知识与技巧典型题七：恒成立之分类讨论求最值 已知数列{an}，{bn}满足：an+bn＝1，bn+1＝，且a1，b1是函数f（x）＝16x2﹣16x+3的零点（a1＜b1）． （1）求a1，b1，b2； （2）设cn＝，求证：数列{cn}是等差数列，并求bn的通项公式； （3）设Sn＝a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1，不等式4aSn＜bn恒成立时，求实数a的取值范围． 知识与技巧典型题八：恒成立之参变分离求最值 已知正项数列满足，，设． （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项积为，若恒成立，求实数的取值范围． 知识与技巧典型题九：恒成立之利用单调性求最值 已知数列中，，. （1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）若数列满足，且对任意正整数，不等式恒成立，求整数的最大值. 知识与技巧典型题十：恒成立之“单峰平底”数列求最值 已知数列的前项和为，，数列满足，． （1）求数列和的通项公式； （2）设数列的前项和为，若不等式恒成立，求实数的取值范围． 知识与技巧典型题十一：恒成立之分奇偶讨论求参数范围 若数列是公差为2的等差数列，数列满足b1＝1，b2＝2，且anbn＋bn＝nbn＋1. （1）求数列,的通项公式； （2）设数列满足，数列的前n项和为，若不等式 对一切n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围. 专题集训题选 1.（浙江省台州市、永康市六校（三门中学、黄岩中学、温岭中学、天台中学、台州中学）2021-2022学年上学期11月期中联考）在数列中，表示其前项和，满足. （1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式： （2）设，求证：. 2.（江苏省南京市金陵中学2021-2022学年高二上学期12月月考）已知数列前项和为满足，. （1）求通项公式； （2）设，求证：. 3.（贵州省贵州师范大学附属中学2020-2021学年高一4月月考）设函数对任意的实数x，y，都有，且，记，设，设，且为等比数列. （1）求的值； （2）设，问：是否存在整数m，使得对于任意的正整数n恒成立？若存在，求出m的最大值；若不存在，请说明理由. 4.（福建省龙岩第一中学2021-2022学年高二上学期第一次月考）已知数列的前项和为，，数列满足，. （1）求数列和的通项公式； （2）设数列满足：，，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 5.（江苏省泰州市泰兴市黄桥中学2020-2021学年高二上学期质量检测（一））已知各项均为正数的数列的前n项和为，，且对任意n，恒成立． （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式； （3）若不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围． 6.（江西省崇义中学2020-2021学年高一上学期） （1）已知数列，，是否存在正整数k，使对一切，不等式均成立； （2）已知关于n的不等式，对于一切大于1的正整数n都成立，试求实数a的取值范围. 7.（河南省新乡市2021-2022学年高二上学期期中考试）已知是等差数列，是公比不为的等比数列，，，，且是与的等差中项. （1）求和的通项公式. （2）若，证明：.