专题07 反比例函数和几何图形的综合应用-2021-2022学年九年级数学寒假专题提优训练（北师大版）

2021-2022学年九年级数学寒假专题提优训练（北师大版） 专题07 反比例函数和几何图形的综合应用 【典型例题】 1．（2022·全国·九年级专题练习）如图1，一次函数y＝kx+b与反比例函数相交于A（1，6），B（3，a）两点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）如图2，将线段AB向右平移t个单位长度（t＞0），得到对应线段MN．连接AM、BN．在线段AB运动过程中，若B点在MN的中垂线上，求t的值． 【答案】（1），y＝﹣2x+8；（2）5 【分析】 （1）根据A（1，6）求得反比例函数解析式，再求得点坐标，即可求解； （2）根据中垂线的性质可得，求出点的坐标，即可求解． 【详解】 解：（1）∵A（1，6）在反比例函数的图象上， ∴，即m＝6，∴反比例函数为， ∵B（3，a）在反比例函数的图象上， ∴，∴B（3，2）， 将A（1，6），B（3，2）代入一次函数y＝kx+b得： ，解得， ∴一次函数的解析式为y＝﹣2x+8； （2）线段AB向右平移t个单位长度（t＞0），得到对应线段MN，则M（1+t，6），N（3+t，2）， ∵B点在MN的中垂线上，∴BM＝BN， ∴，解的t＝5． 故答案为：5 【点睛】 此题考查了反比例函数与一次函数的综合应用，涉及了平移和垂直平分线的性质，解题的关键是掌握并灵活利用相关性质进行求解． 【专题训练】 1、 解答题 1．（2021·北京师大附中九年级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（2，0），C（0，1），点D是矩形OABC对角线的交点．已知反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象经过点D，交BC于点M，交AB于点N． （1）求点D的坐标和k的值； （2）反比例函数图象在点M到点N之间的部分（包含M，N两点）记为图形G，求图形G上点的横坐标x的取值范围． 【答案】（1）点D的坐标为（1，）；k＝；（2）≤x≤2． 【分析】 （1）先求得D点的坐标，然后根据待定系数法即可求得； （2）根据M的纵坐标，即可求得M的横坐标，结合N的横坐标，即可得到图形G上点的横坐标x的取值范围． 【详解】 解答：解：（1）∵点D是矩形OABC的对角线交点， ∴点D是矩形OABC的对角线AC的中点， 又∵A（2，0），C（0，1）， ∴点D的坐标为（1，）． ∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点D， ∴， 解得：k＝． （2）由题意可得：点M的纵坐标为1，点N的横坐标为2． ∵点M在反比例函数y＝的图象上， ∴点M的坐标为（，1）， ∴≤x≤2． 【点睛】 本题主要考查了反比例函数的图象性质，准确计算是解题的关键． 2．（2021·山东文登·九年级期中）如图，RtABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C(2，0)，点B(0，4)，反比例函数（x＞0）的图象经过点A． （1）求反比例函数的解析式； （2）将直线OA向上平移m个单位后经过反比例函数（x＞0）图象上的点(1，n)，求m，n的值． 【答案】（1）y＝；（2）m＝，n＝12 【分析】 （1）过点A作轴于D，可证，得出点坐标，待定系数法求出解析式即可， （2）将点代入（1）中解析式和直线的解析式中，分别求出，的值即可． 【详解】 解：（1）如图，过点A作轴于D，则， ∵，， ∴， ∵， ， ∵点C的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，4）， ∴，， ∴，， ∴OD=OC+CD=6， ∴点A的坐标为（6，2）， 把A点坐标代入到反比例函数中，得， ∴反比例函数解析式为； （2）∵在上， ， 设直线OA解析式为 ， ∴， ∴直线OA解析式为 ∴直线向上平移个单位后的解析式为：， ∵直线图象经过（1，12） 解得： ，． 【点睛】 本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，正比例函数解析式，函数图像的平移，三角形全等的性质与判定，解题的关键是掌握一次函数与反比例函数的相关性质和数形结合思想． 3．（2021·福建三元·九年级阶段练习）如图，O为坐标原点，四边形OACB是菱形，OB在x轴的正半轴上，反比例函数在第一象限内的图象经过点A（6，8），与BC交于点F． （1）求反比例的解析式； （2）求的面积 【答案】（1）反比例函数；（2）S△AOF=． 【分析】 （1）利用待定系数法求反比列函数解析式，把点A坐标代入解析式得，求出k即可； （2）过A作AD⊥OB于D，FG⊥AO于G，根据勾股定理求出菱形边长OA，再求菱形面积，根据三角形面积是菱形面积的一半即可求解． 【详解】 解：（1）∵反比例函数在第一象限内的图象经过点A（6，8）， ∴， 解得， ∴反比例函数； （2）过A作AD⊥OB于D，FG⊥AO于G， ∵A（6，8）， ∴AD=8，OD=6， ∴OA ∵四边形OACB是菱形， ∴OB=OA=10， ∴S菱形OBCA=OB·AD