专题02 特殊的平行四边形中折叠问题-2021-2022学年九年级数学寒假专题提优训练（北师大版）

2021-2022学学年九年级数学寒假专题提优训练（北师大版） 专题02 特殊的平行四边形中折叠问题 【典型例题】 1．（2021·湖南·永州市剑桥学校八年级期中）如图①，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F． （1）求证：△BDF是等腰三角形． （2）如图②，过点D作DG//BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O． ①判断四边形BFDG的形状，并说明理由； ②若AB＝6，AD＝8，求FG的长． 【答案】（1）见解析；（2）①四边形BFDG是菱形，理由见解析；② 【分析】 （1）由矩形的性质可得AD//BC，由折叠的性质可得∠DBC＝∠DBE，进而可得∠DBE＝∠ADB，根据等角对等边即可证明△BDF是等腰三角形； （2）①根据题意先证明四边形是平行四边形，结合（1）的结论可得四边形是菱形；②先根据勾股定理求得，设DF＝BF＝x，则AF=AD-DF=8-x， 在中利用勾股定理求得，进而根据菱形的面积公式即可求得． 【详解】 （1）证明：由折叠性质可得，∠DBC＝∠DBE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD//BC， ∴∠DBC＝∠ADB， ∴∠DBE＝∠ADB， ∴BF＝DF， ∴△BDF是等腰三角形； （2）①四边形BFDG是菱形，理由如下： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD//BC，即FD//BG， 又∵DG//BF， ∴四边形BFDG是平行四边形， 又∵DF＝BF， ∴四边形BFDG是菱形， ②∵在Rt△ADB中，AB＝6，AD＝8， ， ∵由①可知四边形BFDG是菱形， ∴GF⊥BD，FG＝2FO，OB＝OD， ∴BO＝5， 设DF＝BF＝x，则AF=AD-DF=8-x， 在Rt△ABF中， ， 即 解得 即， 菱形的面积， ． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质与判定，矩形的性质，菱形的性质与判定，掌握菱形的性质与判定是解题的关键． 【专题训练】 1、 填空题 1．（2021·重庆市广益中学校九年级阶段练习）如图，在菱形纸片中，，折叠菱形纸片，使点落在（为的中点）所在的直线上，得到经过点的折痕，则的度数为________． 【答案】75° 【分析】 连接，先证明为等边三角形，然后根据三线合一定理得到即可得到，则，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】 解：连接， ∵四边形为菱形， ∴AD=AB，，AB∥CD， ∴， ∴ ∵， ∴为等边三角形， ∵为的中点， ∴为的平分线，即， ∴， 由折叠的性质得到， 在中，． 故答案为：75°． 【点睛】 本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，折叠的性质，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 2．（2021·吉林·长春市第八十七中学八年级阶段练习）如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知DE＝5，AB＝8，则BF＝___． 【答案】6 【分析】 根据翻折的性质以及勾股定理先求出CF的长度，然后设BF的长度，同样利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】 解：∵四边形ABCD为矩形， ∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠C=90°， ∴△ABF和△CEF均为直角三角形， 根据翻折的性质，DE=FE=5， ∴CE=CD-DE=8-5=3， 在Rt△CFE中，， 即：， 解得：， 设，则， ∴， 由翻折的性质可知，AD=AF， ∴， 在Rt△ABF中，， 即：， 解得：， ∴BF=6， 故答案为：6． 【点睛】 本题考查矩形的翻折问题，理解矩形的基本性质，翻折的基本性质，熟练运用勾股定理是解题关键． 3．（2022·河南·九年级专题练习）在菱形ABCD中，∠B＝60°，BC＝2cm，M为AB的中点，N为BC上一动点（不与点B重合），将△BMN沿直线MN折叠，使点B落在点E处，连接DE，CE，当△CDE为等腰三角形时，线段BN的长为_____． 【答案】cm或2cm 【分析】 分两种情况：①如图1，当DE=DC时，连接DM，作DG⊥BC于G，由菱形的性质得出AB=CD=BC=2，AD∥BC，AB∥CD，得出∠DCG=∠B=60°，∠A=120°，DE=AD=2，求出DG=，CG=1，BG=BC+CG=3，由折叠的性质得：EN=BN，EM=BM=AM，∠MEN=∠B=60°，证明△ADM≌△EDM，得出∠A=∠DEM=120°，证出D、E、N三点共线，设BN=EN=x，则GN=3-x，DN=x+2，在Rt△DGN中，由勾股定理得出方程，解方程即可； ②如图2，当CE=CD上，CE=CD=AD，此时点E与A重合，N与点C重合，CE=CD=DE=DA，△CDE是等边三角形，BN=BC=2（含CE=DE这种情况）. 【详解】 解：分两种情况， ①如图1，当DE=DC时，连接D