专题01 特殊的平行四边形中动点问题-2021-2022学年九年级数学寒假专题提优训练（北师大版）

2021-2022学年九年级数学寒假专题提优训练（北师大版） 专题01 特殊的平行四边形中动点问题 【典型例题】 1．（2021·湖北崇阳·九年级阶段练习）△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF． （1）探究猜想，如图1，当点D在线段BC上时， ①BC与CF的位置关系为　 　； ②BC、CD、CF之间的数量关系为　 　； （2）深入思考，如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①、②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明． （3）拓展延伸，如图3，当点D在线段BC的延长线上时，正方形ADEF对角线交于点O．若已知AB＝4，CD＝BC，请求出OC的长． 【答案】（1）①垂直；② BC＝CF+CD；（2）成立；证明见解析；（3）； 【分析】 （1）①根据正方形的性质得到∠BAC＝∠DAF＝90°，推出△DAB≌△FAC（SAS），根据全等三角形的性质即可得到结论；②由△DAB≌△FAC（SAS）得出CF＝BD，则可得出结论； （2）根据正方形的性质得到∠BAC＝∠DAF＝90°，推出△DAB≌△FAC（SAS），根据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的角的性质可得到结论． （3）求出BD＝5，由（2）同理可证得△DAB≌△FAC，得出BC⊥CF，CF＝BD＝5，由勾股定理求出DF，则可得出答案． 【详解】 解：（1）①正方形ADEF中，AD＝AF， ∵∠BAC＝∠DAF＝90°， ∴∠BAD＝∠CAF， 在△DAB与△FAC中， ， ∴△DAB≌△FAC（SAS）， ∴∠ABC＝∠ACF， ∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∴∠ACB+∠ACF＝45°+45°＝90°， 即BC⊥CF； 故答案为：垂直； ②△DAB≌△FAC， ∴CF＝BD， ∵BC＝BD+CD， ∴BC＝CF+CD； 故答案为：BC＝CF+CD； （2）CF⊥BC成立；BC＝CD+CF不成立，CD＝CF+BC．理由如下： ∵正方形ADEF中，AD＝AF， ∵∠BAC＝∠DAF＝90°， ∴∠BAD＝∠CAF， 在△DAB与△FAC中， ， ∴△DAB≌△FAC（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACF， ∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠ACB＝∠ABC＝45°． ∴∠ABD＝180°﹣45°＝135°， ∴∠BCF＝∠ACF﹣∠ACB＝135°﹣45°＝90°， ∴CF⊥BC． ∵CD＝DB+BC，DB＝CF， ∴CD＝CF+BC． （3）∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝4， ∴BC＝， ∴CD＝BC＝2， ∴BD＝10， 由（2）同理可证得△DAB≌△FAC， ∴BC⊥CF，CF＝BD＝10， ∵四边形ADEF是正方形， ∴OD＝OF， ∵∠DCF＝90°， ∴DF＝＝2， ∴OC＝． 【点睛】 本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【专题训练】 1、 填空题 1．（2021·辽宁法库·九年级期中）如图，菱形ABCD的两条对角线长分别为AC＝6，BD＝8，点P是BC边上的一动点，则AP的最小值为 __． 【答案】4.8 【分析】 由垂线段最短，可得AP⊥BC时，AP有最小值，由菱形的性质和勾股定理可求BC的长，由菱形的面积公式可求解． 【详解】 设AC与BD的交点为O， ∵点P是BC边上的一动点， ∴AP⊥BC时，AP有最小值， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO＝CO＝AC＝3，BO＝DO＝BD＝4， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4.8． 【点睛】 本题考查了菱形的性质，勾股定理，确定当AP⊥BC时，AP有最小值是本题关键． 2．（2021·山东薛城·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为_________________． 【答案】 【分析】 由勾股定理求出BC的长，再证明四边形DMAN是矩形，可得MN＝AD，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题． 【详解】 解：∵∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4， ∴BC＝＝5， ∵DM⊥AB，DN⊥AC， ∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°， ∴四边形DMAN是矩形， ∴MN＝AD， ∴当AD⊥BC时，AD的值最小， 此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD， ∴AD＝＝， ∴MN的最小值为； 故答案为：． 【点睛】 本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，