3.3 双曲线（课时作业）-2021-2022学年高中数学选修2-1【导与练】高中同步全程学习（北师大版）

3.2　双曲线的简单性质 [选题明细表] 知识点、方法 题号 双曲线的几何性质 1,3,5,6,11,13 双曲线的离心率 2,4,8,9,10 直线与双曲线的位置关系 7,14 双曲线的实际应用 12 基础巩固 1.设双曲线-=1(a>0,b>0)的虚轴长为2,焦距为2,则双曲线的渐近线方程为(　C　) (A)y=±x (B)y=±2x (C)y=±x (D)y=±x 解析:由题意知,2b=2,2c=2,则b=1,c=,a=; 双曲线的渐近线方程为y=±x.故选C. 2.双曲线+=1(m∈Z)的离心率为(　B　) (A) (B)2 (C) (D)3 解析:由题意,m2-4<0且m≠0,因为m∈Z,所以m=1, 因为双曲线的方程是y2-=1, 所以a2=1,b2=3, 所以c2=a2+b2=4, 所以a=1,c=2, 所以离心率为e==2.故选B. 3.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍,且一个顶点的坐标为(0,2),则双曲线的标准方程为(　B　) (A)-=1 (B)-=1 (C)-=1 (D)-=1 解析:由方程组 可解得a=2,b=2,c=2. 因为双曲线的焦点在y轴上, 所以双曲线的标准方程为-=1.故选B. 4.双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点,若MF2垂直于x轴,则双曲线的离心率为(　B　) (A) (B) (C) (D) 解析:由题意,得|F1F2|=2c, |MF2|=c,|MF1|=c. 由双曲线定义得|MF1|-|MF2|=c=2a, 所以e==.故选B. 5.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为,则双曲线的渐近线方程为(　D　) (A)y=±2x (B)y=±x (C)y=±x (D)y=±x 解析:由双曲线的离心率为,则e==,即c=a, b===a, 由双曲线的渐近线方程为y=±x, 即有y=±x.故选D. 6.抛物线y2=-8x的准线与双曲线C:-=1的两条渐近线所围成的三角形面积为　　　　.  解析:抛物线y2=-8x的准线方程为x=2; 双曲线C:-=1的两条渐近线方程为y=±x. 所以S=×2×2=2. 答案:2 7.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4有且只有一个公共点,则k的值为　　　　.  解析:联立 得(1-k2)x2+2kx-5=0,当1-k2=0时,即k=±1,方程仅有一解,则直线与双曲线仅有一个公共点,当1-k2≠0,Δ=4k2+20(1-k2)=0时,即k=±时方程仅有一个解,直线与双曲线也仅有一个公共点. 答案:±1,± 能力提升 8.已知F2,F1是双曲线-=1(a>0,b>0)的上、下焦点,点F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心,|OF1|为半径的圆上,则双曲线的离心率为(　C　) (A)3 (B) (C)2 (D) 解析:由题意,F1(0,-c),F2(0,c), 一条渐近线方程为y=x, 设F2关于渐近线的对称点为M,F2M与渐近线交于A, A为F2M的中点, 又O是F1F2的中点,所以OA∥F1M, 所以∠F1MF2为直角, 所以△MF1F2为直角三角形, 又|F1M|=c=|F1F2|,所以OA倾斜角为30°, 所以=,e2=4,e=2. 故选C. 9.双曲线-=1(a>0,b>0)的两个焦点分别为F1,F2,以F1F2为边作等边△MF1F2.若双曲线恰好平分三角形的另两边,则双曲线的离心率为　　　　.  解析:如图,点N为MF2的中点, 且在双曲线上, 则|F1N|=c,|NF2|=c. 又|NF1|-|NF2|=2a, 即c-c=2a, 所以e===+1. 答案:+1 10.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左顶点为A,右焦点为F,点B(0,b),且·=0,则双曲线C的离心率为　　　　.  解析:A(-a,0),B(0,b),F(c,0), 因为·=0, 所以(-a,-b)·(c,-b)=0, 即b2=ac. 又因为b2=c2-a2, 所以ac=c2-a2, 即=()2-1, 所以e2-e-1=0, 故e=(e=舍去). 答案: 11.已知双曲线E:-=1. (1)若m=4,求双曲线E的焦点坐标,顶点坐标和渐近线方程; (2)若双曲线E的离心率e∈(,),求实数m的取值范围. 解:(1)当m=4时,双曲线方程可化为-=1, 所以a=2,b=,c=3,所以焦点坐标为(-3,0),(3,0),顶点坐标为(-2,0),(2,0),渐近线方程为y=±x. (2)因为e2===1+,e∈(,), 所以<1+<2,解得5<m<10, 所以实数m的取值范围是(5,10). 12.如图所示,B地在A地的正东方向4 km