2.3 向量的坐标表示和空间向量基本定理（课时作业）-2021-2022学年高中数学选修2-1【导与练】高中同步全程学习（北师大版）

3.3　空间向量运算的坐标表示 [选题明细表] 知识点、方法 题号 空间向量的坐标运算 1,2 坐标形式下的平行与垂直 4,5,6,9,10 模与夹角 3,7,8 综合应用 11,12,13 基础巩固 1.已知向量a=(-3,2,5),b=(1,x,-1),且a·b=2,则x的值为(　C　) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 解析:因为a·b=-3×1+2x+5×(-1)=2x-8=2,所以x=5,故选C. 2.已知向量=(2,-1,3),点A(-1,0,4),则B点坐标为　　(　C　) (A)(-3,1,1) (B)(3,-1,-1) (C)(1,-1,7) (D)(-1,1,-7) 解析:设B(x,y,z), 则=(x+1,y,z-4)=(2,-1,3), 所以解得故选C. 3.已知向量a=(3,5,0),b=(1,2,-1),则|a-2b|等于(　B　) (A)6 (B) (C)2 (D)3 解析:因为向量a=(3,5,0),b=(1,2,-1), 所以a-2b=(3,5,0)-(2,4,-2)=(1,1,2), 所以|a-2b|==.故选B. 4.在空间直角坐标系中,若向量a=(-2,1,3),b=(1,-1,1), c=(1,-,-),则它们之间的关系是(　A　) (A)a⊥b且a∥c (B)a⊥b且a⊥c (C)a∥b且a⊥c (D)a∥b且a∥c 解析:因为a=-2c,b·a=1×(-2)+(-1)×1+1×3=0,所以a∥c且a⊥b,故选A. 5.已知A(2,1,3),B(-4,2,x),C(1,-x,2),若向量+与垂直(O为坐标原点),则x等于(　D　) (A)-4 (B)-3 (C)3 (D)4 解析:+=(2,1,3)+(-4,2,x)=(-2,3,x+3). 因为(+)⊥, 所以-2-3x+2x+6=0,解得x=4.故选D. 6.已知空间向量a=(λ,1,-2),b=(λ,1,1),则λ=1是a⊥b的　　　　条件.  解析:a⊥b⇔λ2+1-2=0,解得λ=±1.故λ=1是a⊥b的充分不必要 条件. 答案:充分不必要 7.在正方体ABCDA1B1C1D1中,M是AB的中点,则cos<,>= 　　　 　.  解析:建立空间直角坐标系如图, 设正方体的棱长为1, 则D(0,0,0),B1(1,1,1),C(0,1,0),M(1,,0), 所以=(1,1,1),=(1,-,0), cos<,>===. 答案: 能力提升 8.若向量a=(1-t,1-t,t-1),b=(2,t-2,t+1),则|b-a|的最小值是(　B　) (A) (B)3 (C) (D)5 解析:因为b-a=(2,t-2,t+1)-(1-t,1-t,t-1)=(1+t,2t-3,2), 所以|b-a|===, 当t=1时,|b-a|有最小值3.故选B. 9.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k的值为　 　　　.  解析:ka+b=(k-1,k,2),2a-b=(3,2,-2), 因为ka+b与2a-b互相垂直, 所以(ka+b)·(2a-b)=0,即3(k-1)+2k-4=0, 解得k=. 答案: 10.已知点A(λ+1,μ-1,3),B(2λ,μ,λ-2μ),C(λ+3,μ-3,9)三点共线,则实数λ+μ=　　　　.  解析:因为=(λ-1,1,λ-2μ-3),=(2,-2,6),若A,B,C三点共线,则∥, 即=-=, 解得λ=0,μ=0,所以λ+μ=0. 答案:0 11.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2). (1)若∥,∥,求点D的坐标. (2)问是否存在实数α,β,使得=α+β成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,说明理由. 解:(1)设D(x,y,z),则=(-x,1-y,-z), =(-x,-y,2-z), 由题意,得=(-1,0,2),=(-1,1,0). 因为∥,∥, 所以 解得 即D(-1,1,2). (2)依题意=(-1,1,0),=(-1,0,2),=(0,-1,2), 假设存在实数α,β,使得=α+β成立, 则有(-1,0,2)=α(-1,1,0)+β(0,-1,2)=(-α,α-β,2β), 所以 故存在α=β=1,使得=α+β成立. 12.如图所示,直三棱柱ABCA1B1C1中,底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA= 90°,棱AA1=2,M,N分别是A1B1,A1A的中点. (1)求的模; (2)求异面直线BA1与CB1夹角的余弦值; (3)求证A1B⊥C1M. 解:以C为坐标原点,以,,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系