3.4 曲线与方程（课件）-2021-2022学年高中数学选修2-1【导与练】高中同步全程学习（北师大版）

4.2　圆锥曲线的共同特征 4.3　直线与圆锥曲线的交点 数学 课标要求:1.通过实例认识椭圆、抛物线、双曲线的共同特征.2.会由方程组解决圆锥曲线公共点,直线与圆锥曲线位置关系问题.3.掌握中点弦、弦长等直线与圆锥曲线有关的简单问题的常见解法. 数学 新知导学 课堂探究 达标检测 数学 新知导学·素养养成 [情境导学] 数学 想一想 想一想 数学 想一想3:椭圆、双曲线、抛物线有什么共同特征? (曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比都为一定值) 数学 知识探究 1.圆锥曲线的共同特征 圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离 为定值e,当0<e<1时,圆锥曲线是 ;当e>1时,圆锥曲线是 ;当e=1时,圆锥曲线是 . 之比 椭圆 双曲线 抛物线 数学 (2)方程组有几组不同的实数解,两条曲线就有几个不同交点;方程组没有实数解,两条曲线就无交点. 数学 题型一 课堂探究·素养提升 圆锥曲线的统一性问题 数学 数学 (2)在曲线求一点P,使|PF|=5. 名师导引:(2)由|PF|=5,可得P到l的距离为4,从而可求得P的坐标. 数学 方法技巧 圆锥曲线上点的横(纵)坐标与该点到定直线的距离和它到焦点的距离有密不可分的联系,这种关系要通过圆锥曲线的共同特征建立,这种关系的应用可以实现点到点的距离向点到直线的距离的转化,从而使运算得以简化. 数学 数学 题型二 圆锥曲线的交点问题 数学 数学 思维总结 直线与圆锥曲线的公共点个数等价于直线和圆锥曲线的方程联立消元后方程根的个数.主要借助判别式Δ判断.若消元后得到的是一次方程,则直线与双曲线的渐近线,抛物线的对称轴平行,只有一个交点. 数学 即时训练2-1:求过点P(0,1)且与抛物线y2=2x只有一个公共点的直线方程. 解:①若直线的斜率不存在,则过点P(0,1)的直线方程为x=0.显然与抛物线只有一个公共点,即直线x=0与抛物线只有一个公共点. 数学 题型三 直线与圆锥曲线的弦长问题 数学 数学 方法技巧 解决直线与圆锥曲线的弦长问题时,若易求交点坐标,则由两点间距离公式求弦长,若不易求交点坐标,可考虑用根与系数关系由弦长公式求解. 数学 数学 数学 数学 题型四 圆锥曲线的中点弦问题 数学 数学 数学 数学 方法技巧 解决中点弦问题的方法主要有三种:(1)通过方程组转化为一元二次方程,结合一元二次方程根与系数的关系及中点坐标公式进行求解. (2)点差法,设出弦两端点的坐标,将两端点坐标代入方程,得到两个等式,两式相减即得弦的中点与斜率的关系. (3)中点转移法,先设出一个端点的坐标,再借助中点坐标得出另一个端点的坐标,而后代入圆锥曲线方程进行求解. 数学 数学 数学 数学 备选例题 [例1] 已知直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1交于A,B两点. (1)求a的取值范围; 数学 (2)若以AB为直径的圆过坐标原点,求实数a的值. 数学 思维总结 直线与圆锥曲线相交的问题是综合问题最常见的题型.一般常将直线方程代入到圆锥曲线方程中得到一元二次方程,这个方程的两个根就是交点的横、纵坐标.利用根与系数的关系可以解有关弦长、弦中点、轨迹等问题(在求解过程中要注意方程中的Δ>0及对二次项系数是否为0进行分类讨论)有时也需注意定义的运用. 数学 [例2] 已知直线l与抛物线y2=8x交于A,B两点,且l经过抛物线的焦点F,点A(8,8),求线段AB的中点到准线的距离. 数学 数学 数学 (1)求椭圆C的方程; 数学 数学 (2)设不过原点O的直线l2与该椭圆交于P,Q两点,满足直线OP,PQ,OQ的斜率依次成等比数列,求△OPQ面积的取值范围. 名师导引:(2)由题意可知,直线l2的斜率存在且不为0,故可设直线l2的方程为y=kx+m(m≠0),代入椭圆方程,得关于x的一元二次方程,由此利用根的判别式、韦达定理、等比数列性质、弦长公式,结合已知条件,能求出△OPQ面积的取值范围. 数学 数学 思维总结 本题考查椭圆方程的求法,考查三角形面积的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意根的判别式、韦达定理、等比数列性质、弦长公式的合理运用. 数学 达标检测·课堂巩固 B 1.抛物线与直线有一个公共点是直线与抛物线相切的(　 　) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 解析:当直线与抛物线的对称轴平行时,与抛物线也有一个公共点.故选B. 数学 C 数学 数学 数学 课堂小结 1.判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时,可将直线l的方程代入曲线C