2.3 向量的坐标表示和空间向量基本定理（课件）-2021-2022学年高中数学选修2-1【导与练】高中同步全程学习（北师大版）

3.3　空间向量运算的坐标表示 数学 课标要求:1.掌握空间向量坐标运算的规律;会根据向量的坐标,判断两个向量共线或垂直.2.掌握向量长度公式,两向量夹角公式,空间两点间距离公式,并会应用这些知识解决简单立体几何问题. 数学 新知导学 课堂探究 达标检测 数学 新知导学·素养养成 [情境导学] 实例:已知在单位正交基底i,j,k下,向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3). 数学 想一想1:向量a+b,a-b的坐标分别是什么?如何推导? (a+b=(a1i+a2j+a3k)+(b1i+b2j+b3k)=(a1+b1)i+(a2+b2)j+(a3+b3)k,故a+b= (a1+b1,a2+b2,a3+b3),同理有a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3)) 想一想 数学 知识探究 1.空间向量运算的坐标表示 设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则 (x1+x2,y1+y2,z1+z2) 向量运算 坐标表示 加法 a+b= . 减法 a-b= . 数乘 λa= (λ∈R) 数量积 a·b= . (x1-x2,y1-y2,z1-z2) (λx1,λy1,λz1) x1x2+y1y2+z1z2 数学 (x2-x1,y2-y1,z2-z1) 2.空间向量的坐标表示 3.空间向量平行、垂直、长度、夹角的坐标表示 设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则 (1)若b≠0,则a∥b⇔a=λb⇔ (λ∈R); x1=λx2,y1=λy2,z1=λz2 x1x2+y1y2+z1z2=0 数学 题型一 课堂探究·素养提升 空间向量的坐标运算 [例1] 已知a=(2,-1,-2),b=(0,-1,4),求: (1)a+b;(2)a-b; (3)a·b;(4)2a·(-b); (5)(a+b)·(a-b). 名师导引:利用空间向量的坐标运算法则计算即可. 数学 解:(1)a+b=(2,-1,-2)+(0,-1,4)=(2,-2,2). (2)a-b=(2,-1,-2)-(0,-1,4)=(2,0,-6). (3)a·b=(2,-1,-2)·(0,-1,4) =2×0+(-1)×(-1)+(-2)×4=-7. (4)2a·(-b)=2(2,-1,-2)·(0,1,-4) =(4,-2,-4)·(0,1,-4) =4×0+(-2)×1+(-4)×(-4) =14. (5)(a+b)·(a-b) =(2,-2,2)·(2,0,-6) =2×2+(-2)×0+2×(-6)=-8. 数学 思维总结 掌握空间向量坐标运算法则是解题的关键,空间向量的坐标运算法则和平面向量类似,可以类比着记忆. 数学 即时训练1-1:已知向量a=(2,-3,1),b=(2,0,3),c=(0,0,2),则 (1)a·(b+c)=　　　 　;  (2)(a+2b)·(a-2b)=　　　 　.  解析:(1)b+c=(2,0,5), a·(b+c)=(2,-3,1)·(2,0,5)=9. 答案:(1)9　(2)-38 数学 题型二 坐标形式下的平行与垂直问题 解:(1)①当x=0时,a=(1,0,1),b=(1,0,1),a=b, 所以x=0,满足a∥b; ②当x=1时,a=(1,1,0),b=(0,-3,2),此时a不平行于b,所以x≠1. [例2] 已知a=(1,x,1-x),b=(1-x2,-3x,x+1),求满足下列条件时,实数x的值. (1)a∥b; 数学 (2)a⊥b. 数学 方法技巧 已知两向量垂直(平行),利用向量运算的坐标表示可得到方程(组)进而求出参数的值,这是已知两向量垂直(平行)求参数问题的常用方法,在解题过程中要注意合理应用坐标形式下的向量运算法则,不要出现计算失误. 数学 数学 (2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求k. 数学 题型三 坐标形式下的夹角与长度问题 [例3] 直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别是A1B1,A1A的中点. 名师导引:CA,CB,CC1两两垂直,可由此建立空间直角坐标系,利用坐标运算求解向量的模及夹角. 数学 数学 方法技巧 在几何体中建立空间直角坐标系时,要充分利用几何体本身的特点,以使各点的坐标易求.利用向量的坐标运算,可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单. 数学 即时训练3-1:已知空间三点A(0,2,3),B(-2