第13练：相似-2022年【寒假分层作业】九年级数学（人教版）（全国通用）

第13练：相似 1.相似图形定义：形状相同的图形叫做相似图形。 2.相似多边形定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比。 3.性质相似多边形的对应角相等，对应边成比例。 4..相似三角形的定义： 三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似。 5.平行线分线段成比例定理： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例。 6.相似三角形的判定定理 判定1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 判定2：三边成比例的两个三角形相似。 判定3：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 判定4：两角分别相等的两个三角形相似。 7.相似三角形的性质 （1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例； （2）相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比； （3）相似三角形对应线段的比等于相似比； （4）相似三角形周长的比等于相似比； （5）相似三角形面积的比等于相似比的平方。 8.位似图形定义：如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。这时的相似比又叫位似比。 9. 位似图形性质：每一组对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比都等于位似比。 10.由一个图形得到它的位似图形的变换叫做位似变换。利用位似变换可以把一个图形放大或缩小。 1．如图，D是 ABC的AB边上的一点，过点D作DE BC交AC于E，已知AD：DB＝2：3，则 =（　　） A．2：3 B．4：9 C．4：5 D．4：25 【答案】D 【解析】根据DE∥BC推出△ADE∽△ABC，再结合图形根据线段之间的和差关系推出AD：AB＝2：5，进而利用相似三角形的性质进行求解即可． 【详解】 解： ， ∴ 又 ∴ ， 又 ， ， ∴ ， ∴ ， 故选：D． 【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握面积比等于相似比的平方是解决本题的关键． 2．如图，已知 ，那么添加一个条件后，依然无法判定 ∽ （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用相似三角形的判定依次判断可求解； 【详解】 解： ， ， 、若 ，且 ，可判定 ，故选项 不符合题意； 、若 ，且 ，可判定 ，故选项 不符合题意； 、若 ，且 ，可判定 ，故选项 不符合题意； 、若 ，且 ，无法判定 ，故选项 符合题意； 故选： ． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练运用相似三角形的判定是本题的关键． 3．如图，△ABC与△DEF形状完全相同，且AB=3.6，BC=6，AC=8，EF=2，则DE的长度为（ ） A．1.2 B．1.8 C．3 D．7.2 【答案】A 【解析】利用△ABC∽△DEF，对应线段成比例即可求出DE的长. 【详解】 ∵△ABC∽△DEF， ∴ = ，即 = ∴DE=1.2 故选A. 【点评】此题主要考察相似三角形的对应线段成比例. 4．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，H，G是边BC上的点，且HG＝ BC，S△ABC＝24，则图中阴影部分的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】D 【解析】连接DE，作AF⊥BC于F，根据三角形中位线定理得出DE＝ BC，DE∥BC，根据相似三角形的判定定理和性质定理，结合三角形面积计算即可． 【详解】 解：连接DE，作AF⊥BC于F，如图所示： ∵D，E分别是AB，AC的中点， ∴DE＝ BC，DE∥BC，AH＝FH， ∴△ADE∽△ABC，AH⊥DE， ∴△ADE的面积＝24× ＝6， ∴四边形DBCE的面积＝24﹣6＝18， ∵HG＝ BC， ∴DE＝HG， ∴△DOE的面积+△HOG的面积＝2× DE×AH＝△ADE的面积＝6， ∴图中阴影部分的面积＝18﹣6＝12， 故选D． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线定理，证明三角形相似是解题的关键． 5．如图，正方形ABCD边长为4，M，N分别是边BC，CD上的两个动点且AM⊥MN，则AN的最小值是(　　) A．4 B．5 C．2 D．4 【答案】B 【解析】在Rt△ADN， ，而AD=4为定值，所以当DN取最小值时，AN也取最小值．于是设BM=x，利用△ABM∽△MCN，求出CN的长，即可表示出DN的长，根据二次函数的最值求法即可得到正确结果． 【详解】 解：∵AM⊥MN ∴∠AMB+∠CMN＝90° 而∠AMB+∠MAB＝90° ∴∠MAB＝∠NMC 又∵∠B＝∠C＝90° ∴△ABM∽△MCN ∴ 若设BM＝x，则CM＝4﹣x