第08练：点、直线、圆和圆的位置关系-2022年【寒假分层作业】九年级数学（人教版）（全国通用）

第08练：点、直线、圆和圆的位置关系 考点一：点和圆的位置关系 设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有： d<r 点P在⊙O内； d=r 点P在⊙O上； d>r 点P在⊙O外。 考点二：过三点的圆 1.过三点的圆。不在同一直线上的三个点确定一个圆。 2.三角形的外接圆。经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。 3.三角形的外心。三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。 4.圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件）。圆内接四边形对角互补。 考点三：反证法 先假设命题中的结论不成立，然后由此经过推理，引出矛盾，判定所做的假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法。 考点四：直线与圆的位置关系 直线和圆有三种位置关系，具体如下： （1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点； （2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线， （3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。 如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么： 直线l与⊙O相交 d<r； 直线l与⊙O相切 d=r； 直线l与⊙O相离 d>r。 考点五：切线的判定和性质 1.切线的判定定理。经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 2.切线的性质定理。圆的切线垂直于经过切点的半径。 考点六：切线长定理 1.切线长。在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。 2.切线长定理。从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 考点七：三角形的内切圆 1.三角形的内切圆。与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 2.三角形的内心。三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。 考点八：圆和圆的位置关系 1.圆和圆的位置关系 （1）如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。 （2）如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。 （3）如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。 2.圆心距。两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。 3.圆和圆位置关系的性质与判定 设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么 两圆外离 d>R+r 两圆外切 d=R+r 两圆相交 R-r<d<R+r（R≥r） 两圆内切 d=R-r（R>r） 两圆内含 d<R-r（R>r） 4.两圆相切、相交的重要性质 如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。 考点九：补充三个定理：如图甲乙丙所示。 甲 乙 丙 （1）相交弦定理：圆内的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等。 如图甲，即：PA·PB = PC·PD （2）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆交点的两条 线段长的积相等。如图乙，即：PA·PB = PC·PD （3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交 点的两条线段长的比例中项。如图丙，即：PC 2= PA·PB 1．在 中， ， ， ，以点C为圆心，2cm长为半径的圆与AB的位置关系是（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】C 【解析】先利用勾股定理求得AB的长，再利用三角形的面积公式求得点C到AB的距离，进而判定圆与AB的位置关系. 【详解】 解：在 中， ， ， ， ∴ ， ∴点C到AB的距离= ， 则该圆与AB的位置关系是相离. 故选C. 【点评】本题主要考查圆与直线的位置关系，勾股定理，三角形的面积公式等，解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 2．如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB与小圆相切，已知AB=10cm，则两圆形成的圆环的面积等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】连接OC、OA，构造出Rt△AOC，求出 的值，再乘以π即为环形的面积． 【详解】 连接OC、OA，则OC⊥AB， 在Rt△AOC中， =25 环形的面积为 故选B. 【点评】本题考查切线的性质，解题关键在于求出 的值 3．下列命题中是真命题的为（　　） A．弦是直径 B．直径相等的两个圆是等圆 C．平面内的任意一点不在圆上就在圆内 D．一个圆有且只有一条直径 【答案】B 【解析】根据圆的相关概念逐个判断排除. 【详解】 解：弦不一定是直径，A是假命题； 直径相等的两个圆是等圆，B是真命题； 平面内的任意一点在圆