3.2.1　几类不同增长的函数模型（课件）-2021-2022学年高中数学必修1【导与练】高中同步全程学习（人教A版）

3.2　函数模型及其应用 3.2.1　几类不同增长的函数模型 数学 [目标导航] 课标要求 1.结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义,理解它们的增长差异性. 2.引导学生利用题中的数据及其蕴涵的关系建立数学模型,通过建立数学模型解决实际问题. 素养达成 通过掌握常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异及增长状况培养数学抽象、直观想象的核心素养. 数学 新知导学 课堂探究 数学 新知导学·素养养成 1.三种函数模型的性质 上升 　　　函数 性质　　 y=ax (a>1) y=logax (a>1) y=xn (n>0) 在(0,+∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 图象的变化 随x增大逐 渐 . 随x增大逐 渐 . 随x增大 逐渐 . 上升 上升 数学 2.三种函数的增长速度比较 (1)在区间(0,+∞)上,函数y=ax(a>1),y=logax(a>1)和y=xn(n>0)都是 ,但 不同,且不在同一个“档次”上. (2)随着x的增大,y=ax(a>1)增长速度越来越快,会超过并远远大于y=xn (n>0)的增长速度,而y=logax(a>1)的增长速度 . (3)存在一个x0,当x>x0时,有 . 增函数 增长速度 越来越慢 logax<xn<ax 数学 名师点津 指数函数、对数函数和幂函数的增长特点 (1)当a>1时,指数函数y=ax是增函数,且当a越大时,其函数值的增长就越快; (2)当a>1时,对数函数y=logax是增函数,且当a减小时,其函数值的增长就越快; (3)当x>0,n>0时,幂函数y=xn是增函数,且当x>1时,n越大其函数值的增长就越快. 数学 题型一 课堂探究·素养提升 图象信息迁移问题 [例1] 如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系,有人根据函数图象,提出了关于这两个旅行者的如下信息: ①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h,晚到1 h; ②骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动; ③骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者; ④骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样. 其中正确信息的序号是　　　　.  数学 解析:看时间轴易知①正确;骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线,所以是匀速运动,而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线,所以是变速运动,因此②正确;两条曲线的交点的横坐标对应着4.5,故③正确,④错误. 答案:①②③ 数学 方法技巧 解答图象信息迁移问题的技巧 (1)明确横轴、纵轴的意义;(2)从图象形状上判定函数模型;(3)抓住特殊点的实际意义,特殊点一般包括最高点、最低点及折线的拐点等. 数学 答案:(1)④　①　③　②　 即时训练1-1:(1)生活经验告诉我们,当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时,水的高度随着时间的变化而变化,在图中请选择与容器相匹配的图象,A对应　　　;B对应　　　;C对应　　　;D对应　　　;  解析:(1)A容器下粗上细,水高度的变化先慢后快,故与④对应;B容器为球形,水高度变化为快—慢—快,应与①对应;C,D容器都是柱形的,水高度的变化速度都应是直线型,但C容器细,D容器粗,故水高度的变化为C容器快,与③对应,D容器慢,与②对应. 数学 (2)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率P与加工时间t(单位:min)满足函数关系P=at2+bt+c(a,b,c是常数),记录了三次实验的数据,如图所示.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为　　　　min.  答案:(2)3.75 数学 题型二 常见函数模型增长趋势的比较 [例2] 函数f(x)=2x和g(x)=x3(x≥0)的图象,如图所示.设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且 x1<x2. (1)请指出示意图中曲线C1,C2分别对应哪一个函数; (2)结合函数图象,比较f(8),g(8),f(2 020),g(2 020)的大小. 解:(1)C1对应的函数为g(x)=x3(x≥0),C2对应的函数为f(x)=2x. (2)因为g(1)=1,f(1)=2,g(2)=8,f(2)=4,g(9)=729,f(9)=512,g(10)=1 000, f(10)=1 024, 所以f(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9),f(10)>g(10). 所以1<x1<2,9<x2<10.所以x1<8<x2<2 020.