3.1 指数幂的拓展 3.2指数幂的运算性质（课件）-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【导与练】高中同步全程学习（北师大版）

第三章　指数运算与指数函数 §1　指数幂的拓展 §2　指数幂的运算性质 数学 核心知识目标 核心素养目标 1.理解n次方根及根式的概念,能正确运用根式运算性质进行运算. 2.理解分数指数幂的含义;掌握根式与分数指数幂的互化. 3.掌握实数指数幂的运算性质. 1.通过指数幂的拓展的学习,培养逻辑推理素养. 2.通过分数指数幂与根式的互化及指数幂的运算,培养数学运算素养. 数学 知识探究·素养培育 探究点一 [问题1] 某个细胞经过一分钟第一次分裂,1个分裂成2个;经过两分钟第二次分裂,2个分裂成4个;以此类推,问经过8分钟、10分钟、20分钟、x分钟分裂后共有多少个细胞?若每三分钟分裂一次,x分钟分裂后共有多少个细胞? 分数指数幂、根式 数学 知识点1:分数指数幂与根式 (1)正分数指数幂 数学 (4)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 数学 [例1] (1)化简下列各式: 解:(1)①原式=(-2)+(-2)=-4. ②原式=|-2|+2=2+2=4. 数学 数学 数学 数学 方法总结 (2)根式化简的思想是将根式有理化,利用根式的性质和乘法公式(完全平方公式、立方和(差)公式),将所求代数式通过恰当地变形,达到化繁为简的目的. 数学 (3)在解决有关根式、绝对值、分式等问题时,一定要仔细观察、分析根号下式子的特征,为使开偶次方后不出现符号错误,一定要先用绝对值号表示,然后利用已知条件去绝对值号,对于题目没有明确给出条件的要进行分类讨论. 数学 探究点二 指数幂的运算性质 (2)初中学过的整数指数幂的运算性质能推广到实数指数幂吗? (2)能. 数学 知识点2:对于任意正数a,b和实数α,β,实数指数幂均满足下面的运算性质: (1)aα·aβ=aα+β; (2)(aα)β=aαβ; (3)(ab)α=aαbα. 数学 [例2] 计算下列各式: 数学 变式训练2-1: (1)用分数指数幂的形式表示下列各式: 数学 数学 数学 (2)计算: ②(a-2b-3)·(-4a-1b)÷(12a-4b-2c); 数学 方法总结 (1)根式与分数指数幂互化的规律 ②在具体计算时,通常会把根式转化成分数指数幂的形式,然后利用有理数指数幂的运算性质解题. (2)指数幂运算的常用技巧 ①有括号先算括号里的,无括号先进行指数运算. ②负指数幂化为正指数幂的倒数. ③底数是小数,先要化成分数;底数是带分数,要先化成假分数,然后要尽可能用幂的形式表示,便于用指数幂的运算性质. 数学 备用例题 数学 数学 数学 数学 点击进入 课时训练·分层突破 数学 提示:1→2→4→8…→y=2x;若每三分钟分裂一次,则x分钟分裂后共有y=个. 注意:把根式化成分数指数幂的形式时,不要轻易对进行约分. 给定正数a和正整数m,n(n>1,且m,n互素),若存在唯一的正数b,使得bn=am,则称b为a的次幂,记作b=.这就是正分数指数幂. (2)正数的正分数指数幂可表示为 ①= (a>0); ②= (a>0,m,n∈N+,n>1,且m,n互素). (3)正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿,同样可定义为== (a>0,m,n∈N+,n>1,且m,n互素). ①+()5;②+()6; (2)若-3<x<3,求-的值. 解:(2)-=-=|x-1|-|x+3|, 当-3<x≤1时,原式=1-x-(x+3)=-2x-2. 当1<x<3时,原式=x-1-(x+3)=-4. 综上,原式= 解:(1)因为x<π,所以x-π<0. 当n为偶数时,=|x-π|=π-x; 当n为奇数时,=x-π. 综上可知,= 变式训练1-1:化简:(1)(x<π,n∈N+); (2). 解:(2)=|x+2|= (1)()n与的理解:()n是实数a的n次方根的n次幂,其中实数a的取值由n的奇偶性来决定:当n为大于1的奇数时,()n=a(a∈R);当n为大于1的偶数时, ()n=a(a≥0).而是实数an的n次方根,是一个恒有意义的式子,不受n的奇偶性的限制,因此a∈R,但是该式子的值受n的奇偶性限制= [问题2] (1)设a>0,,,分别等于什么? 提示:(1)==a2=(a>0); ==a4=(a>0); ==a3=(a>0). (2)原式=0.4-1-1+(-2)-4+2-3=-1++=. (3)原式=····=a0b0=. (1)(2)0+2-2×(2)-0.010.5; (2)0.06-()0+[(-2)3+16-0.75; (3)()·(a>0,b>0). 解:(1)原式=1+×()-()=1+-=. ①(a>0); ②((b>0); 解:(1)①====. ②原式=[(==. ③(x>0,y>0). 解