1.4 一元二次函数与一元二次不等式（课件）-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【导与练】高中同步全程学习（北师大版）

§4　一元二次函数与一元二次不等式 4.1　一元二次函数 4.2　一元二次不等式及其解法 数学 核心知识目标 核心素养目标 1.会结合二次函数的图象和一元二次方程实根的情况,求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集. 2.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 3.能够利用分类讨论思想求解含参数的一元二次不等式. 1.通过一元二次函数、一元二次不等式的学习,培养直观想象和数学运算素养. 2.通过一元二次不等式的应用,培养逻辑推理素养. 数学 知识探究·素养培育 探究点一 [问题1] 园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉,若栅栏的长度是 24 m,围成的矩形区域的面积要大于20 m2,则如何建立不等关系? 一元二次不等式 提示:设这个矩形的一条边长为 x m,则另一条边长为(12-x)m.由题意, 得(12-x)x>20. 数学 知识点1:一元二次不等式 (1)一般地,形如 或 或ax2+bx+c≥0或ax2+bx+c≤0 (其中,x为未知数,a,b,c均为常数,且a≠0)的不等式叫作一元二次不等式. (2)一元二次不等式的解集:使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集. ax2+bx+c>0 ax2+bx+c<0 [思考] 不等式x2-y2>0是一元二次不等式吗? 提示:此不等式含有两个变量,根据一元二次不等式的定义可知不是一元二次不等式. 数学 探究点二 知识点2:二次函数与一元二次方程、不等式的解集的对应关系 一元二次不等式的解法 数学 {x|x<x1或x>x2} {x|x1<x<x2} 数学 [例1] 解不等式: (1)2x2-3x-2>0; 数学 (2)-3x2+6x-2>0; 数学 (3)4x2-4x+1≤0; 数学 (4)x2-2x+2>0. 解:(4)因为方程x2-2x+2=0的判别式Δ<0, 所以方程x2-2x+2=0无实数根. 画出二次函数y=x2-2x+2的图象(如图(4)),结合图象得不等式x2-2x+2>0的解集为R. 数学 变式训练1-1:解下列不等式: (1)3x2+2x>2-3x; 数学 (2)9x2-6x+1>0; 数学 (3)-2x2+x+1<0. 数学 方法总结 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤: (1)通过对不等式变形,使不等式右侧为0,二次项系数为正. (2)对不等式左侧因式分解,若不易分解,则计算对应方程的判别式. (3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根. (4)根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数图象的草图. (5)根据图象写出不等式的解集. 数学 探究点三 [问题2] 对于一元二次函数y=ax2+bx+c,令y=0可以得到一元二次方程ax2+bx+c=0,令y>0可得到一元二次不等式ax2+bx+c>0,那么一元二次方程,一元二次函数,一元二次不等式之间有何联系? 三个“二次”间的关系 提示:一元二次方程的根是一元二次函数图象与x轴交点的横坐标,同时也是一元二次不等式解集的端点值. 数学 数学 变式训练2-1:(2020·江苏高邮高一期中)若不等式x2+bx+c<0的解集为{x|-2<x<3},则b-2c的值为(　　) (A)11 (B)13 (C)-11 (D)-13 数学 方法总结 (1)一元二次不等式解集的端点是一元二次不等式对应的二次方程的根. 数学 数学 拓展探索素养培优 含参数的一元二次不等式的解法 [典例] 解关于x的不等式x2-ax-2a2<0. 试题情境:课程学习情境. 必备知识:一元二次不等式的解法. 关键能力:逻辑推理能力,运算求解能力. 学科素养:逻辑推理,数学运算. 数学 解:原不等式变形为(x-2a)(x+a)<0. ①若a>0,则-a<x<2a,此时不等式的解集为{x|-a<x<2a}; ②若a<0,则2a<x<-a,此时不等式的解集为{x|2a<x<-a}; 数学 数学 数学 方法总结 解含参数的一元二次不等式时,应对系数中的参数进行讨论: (1)讨论二次项系数的符号,即相应二次函数图象的开口方向. (2)讨论判别式的符号,即相应二次函数图象与x轴交点的个数. (3)当Δ>0时,讨论相应一元二次方程两根的大小. 简记为“一a,二判(Δ),三大小(两根)”. 最后对系数中的参数进行完全分类,即将(-∞,+∞)分成若干个区间,根据相应二次函数在各个区间的值,写出一元二次不等式的解集. 数学 备用例题 [例题] 已知函数f(x)=x2-4ax,x∈R,a∈R. (1)若f(x)<b的解集为(1,3),求a,b的值; 数学 (2)解关于x的不等式f(x)<5a2. 解