1.2 常用逻辑用语（课件）-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【导与练】高中同步全程学习（北师大版）

§2　常用逻辑用语 2.1　必要条件与充分条件 2.1.1　必要条件与充分条件(一) 数学 核心知识目标 核心素养目标 1.理解命题的概念并能判断所给语句是否为命题,并判断真假. 2.理解并掌握充分条件、必要条件的意义. 3.能够利用充分条件、必要条件的意义进行判定与证明. 4.会用充分条件、必要条件表述已学过的判定定理和性质定理. 1.通过必要条件、充分条件的判断,提升逻辑推理素养. 2.借助必要条件、充分条件的应用,培养数学运算素养. 数学 知识探究·素养培育 探究点一 [问题1] 根据初中学过的命题知识,判断下列语句是不是命题?为什么? (1)对顶角相等. (2)π是无限不循环小数. (3)不相交的两条直线一定平行吗? (4)x>5. 命题的概念 提示:(1)(2)是命题;(3)是疑问句,不是命题;(4)不能判断真假,不是命题. 数学 (1)定义:可以判断真假,用文字或符号表述的陈述句叫作命题. (2)分类:判断为 的语句是真命题;判断为 的语句是假命题. (3)结构形式:“若p,则q”形式的命题中, 称为命题的条件, 称为命题的结论. 知识点1:命题的概念 真 假 p q 数学 解:(1)是命题,且是真命题. (2)不是命题,因为语句中含有变量x,在没有给x赋值前,无法判断x2+3x+2=0的真假. (3)是命题,且是真命题. (4)不是命题,因为它是疑问句,没有作出任何判断,所以不是命题. (5)是命题,且是假命题.因为数1.5既不是奇数也不是偶数. (4)垂直于同一条直线的两条直线一定平行吗? (5)一个数不是奇数就是偶数. 数学 变式训练1-1:指出下列命题的条件和结论,并判断命题的真假. (1)两个周长相等的三角形面积相等; (2)已知x,y为正整数,当y=x+1时,y=3,x=2. 解:(1)条件是“两个三角形周长相等”,结论是“两个三角形面积相等”,假命题. (2)条件是“已知x,y为正整数且y=x+1”,结论是“y=3,x=2”,假命题. 数学 方法总结 (1)命题是可以判断真假的陈述句,因此,一般疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题. (2)对于含变量的语句,要注意根据变量的取值范围,看能否判断其真假,若能,就是命题;若不能,就不是命题. 数学 探究点二 [问题2] 观察如图所示电路图,条件p:开关A闭合,结论q:灯泡B亮. (1)当开关A闭合时,灯泡B一定会亮吗?说明了什么? (2)如果“灯泡B不亮”,开关A可以闭合吗? 必要条件与充分条件 提示:(1)一定会亮,说明要使“灯泡B亮”,有“开关A闭合”这个条件就可以. (2)如果“灯泡B不亮”,则开关A肯定不闭合. 数学 知识点2:必要条件与充分条件的概念 一般地,当命题“若p,则q”是真命题时,称q是p的 条件;当命题“若p,则q”是真命题时,称p是q的 条件. 必要 充分 [思考1] (1)“p是q的充分条件”与“q是p的必要条件”所表示的推出关系是否相同? (2)以下五种表述形式:①p⇒q;②p是q的充分条件;③q的充分条件是p;④q是p的必要条件;⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗? 提示:(1)相同,都是p⇒q.(2)等价. 数学 [思考2] 记集合A={x|p(x)},B={x|q(x)},若p是q的充分不必要条件,则集合A,B的关系是什么?若p是q的必要不充分条件呢? 提示:若p是q的充分不必要条件,则A⫋B;若p是q的必要不充分条件,则B⫋A. 数学 [例2] 指出下列各题中p是q的什么条件. (1)p:x=1,q:x2=1; (2)p:两个三角形相似,q:两个三角形全等; (3)p:a>b,q:ac>bc. 数学 变式训练2-1:指出下列各题中p是q的什么条件. (1)在△ABC中,p:AB=AC,q:∠B=∠C; (2)p:x=2,q:x>1; 解:(1)由等腰三角形的性质定理与判定定理知,p是q的充要条件. 数学 方法总结 充分条件、必要条件的两种判断方法 (1)定义法: ①确定谁是条件,谁是结论. ②尝试从条件推结论,若条件能推出结论,则条件为充分条件,否则就不是充分条件. ③尝试从结论推条件,若结论能推出条件,则条件为必要条件,否则就不是必要条件. 数学 (2)命题判断法: ①如果命题“若p,则q”为真命题,那么p是q的充分条件,同时q是p的必要条件. ②如果命题“若p,则q”为假命题,那么p不是q的充分条件,同时q也不是p的必要条件. (3)利用集合间的包含关系判断法:如果条件p和结论q都是集合,那么若p⊆q,则p是q的充分条件;若p⊇q,则p是q的必要条件;若p=q,则p既是q的充分条件,又是q的必要条件. 数学 探究点三 [问题3] 分析下列