1.2 空间向量基本定理（课时训练）-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【导与练】高中同步全程学习（人教A版）

1.2　空间向量基本定理 选题明细表 知识点、方法 题号 基底的概念 1 用基底表示向量 2,3,7 判断和证明线面关系 4,8 求长度 5 求两条直线所成的角 6,9 综合 10,11,12 基础巩固 1.已知{a,b,c}是空间的一个基底,则可以与向量p=a+b,q=a-b构成基底的向量是(　D　) (A)2a (B)2b (C)2a+3b (D)2a+5c 解析:由于{a,b,c}是空间的一个基底,所以a,b,c不共面,在四个选项中,只有2a+5c与p,q能构成基底,故选D. 2.如图,在三棱柱A1B1C1 -ABC中,D是四边形BB1C1C的中心,且=a, =b,=c,则等于(　D　) (A)a+b+c (B)a-b+c (C)a+b-c (D)-a+b+c 解析:连接A1B(图略), 则=(+)=(++)=-a+b+c,故选D. 3.(2021·广东汕头金山中学高二上期中)已知正方体ABCD -A1B1C1D1中,点E为上底面A1C1的中心,若=+x+y,则x,y的值分别为(　C　) (A)1,1 (B)1, (C), (D),1 解析:=(+)=(+++)=++, 所以x=,y=,故选C. 4.如图所示,在正方体ABCD -A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是DD1的中点,N是A1B1的中点,则直线ON与AM的位置关系是(　B　) (A)平行 (B)垂直 (C)相交但不垂直 (D)无法判断 解析:因为=+,=++ =-(+)++=-+,设||=a, 则·=(+)·(-+) =-+·-·+=-a2+a2=0, 故⊥,即ON⊥AM.故选B. 5.如图,已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则PC等于　 . 解析:因为=++, 所以||2=(++)2 =+++2·+2·+2· =36+36+36+0+0+2||||cos 60°=108+2×6×6×=144. 所以PC=12. 答案:12 6.在直三棱柱ABC -A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,AA1=2,则cos<, >= 　. 解析:选择{,,}为基底, 因为CA=CB=1,∠BCA=90°, 所以∠ABC=45°, 所以·=||||cos(180°-∠ABC)=×1×cos 135°=-1. 又·=0,·=0,·=4, 所以·=(+)·(+) =·+·+·+·=-1+0+0+4=3. 又||||=×=, 所以cos<,>==. 答案: 能力提升 7.(2020·福建泉州检测)正方体ABCD -A′B′C′D′中,O1,O2,O3分别是AC,AB′,AD′的中点,以{,,}为基底,=x+ y+z,则x,y,z的值分别是(　A　) (A)1,1,1 (B),, (C),, (D)2,2,2 解析:如图所示, 因为=++ =(+)+(+)+(+)=++, 且=x+y+z, 所以x=y=z=1.故选A. 8.(多选题)在三棱锥P -ABC中,三条侧棱PA,PB,PC两两垂直,且PA=PB=PC=3,G是△PAB的重心,E,F分别为BC,PB上的点,且BE∶EC=PF∶FB=1∶2,则下列说法正确的是(　ABD　) (A)EG⊥PG (B)EG⊥BC (C)FG∥BC (D)FG⊥EF 解析:设=a,=b,=c,则{a,b,c}是空间的一个基底, a·b=a·c=b·c=0,取AB的中点H,连接PH, 则==×(a+b)=a+b, =-=a+b-b-c=a-b-c,=-=c-b, =-=a+b-b=a, =-=b-(c+b)=-c-b, 所以·=0,A正确;·=0,B正确;≠λ(λ∈R),C不正确;·=0,D正确.故选ABD. 9.已知三棱柱ABC -A1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC上的射影为BC的中点,则异面直线AB与CC1所成角的余弦值为(　B　) (A) (B) (C) (D) 解析:设=a,=b,=c,BC的中点为D,则A1D⊥平面ABC, 所以A1D⊥AB. 设三棱柱的各棱长均为1,则|a|=|b|=|c|=1,且<a,b>=60°, 所以=-=(a+b)-c, 所以·=(a+b-c)·a=0, 解得a·c=,所以cos<a,c>===, 所以异面直线AB与CC1所成角的余弦值为.故选B. 10.(2022·浙江杭州学军中学高二期中)棱长为m的正四面体ABCD中,E,F分别为棱AD,BC的中点,则异面直线EF与AB所成角的大小是　　　　,线段EF的长度为　　　　.  解析:设=a,=b,=c.则{a,b,c}是空间的一个基底, 所以|a|=|b|=|c|=m,a·b=a·c=b·c=m2. 因为=-=(a+b)-