1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（课时训练）-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【导与练】高中同步全程学习（人教A版）

1.4　空间向量的应用 1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 选题明细表 知识点、方法 题号 位置向量、方向向量、法向量 1,2 平行关系 3,5,8,11 垂直关系 4,6,9,12,14 综合 7,10,13,15 基础巩固 1.已知点A(4,1,3),B(2,-5,1),C为线段AB上一点且=,则点C的坐标为(　C　) (A)(,-,) (B)(,-3,2) (C)(,-1,) (D)(,-,) 解析:设C(x,y,z),因为C为线段AB上一点且=, 所以=,即(x-4,y-1,z-3)=(-2,-6,-2), 所以所以x=,y=-1,z=. 因此点C的坐标为(,-1,).故选C. 2.若直线l∥α,且l的一个方向向量为(2,m,1),平面α的一个法向量为(1,,2),则m等于(　C　) (A)-4 (B)-6 (C)-8 (D)8 解析:因为l∥α,l的一个方向向量为(2,m,1),平面α的一个法向量为(1,,2),所以(2,m,1)·(1,,2)=0,即2+m+2=0,所以m=-8.故选C. 3.若直线l的一个方向向量为a=(2,5,7),平面α的一个法向量为u=(1,1,-1),则(　A　) (A)l∥α或l⊂α (B)l⊥α (C)l⊂α (D)l与α斜交 解析:由条件知a·u=2×1+5×1+7×(-1)=0, 所以a⊥u,故l∥α或l⊂α.故选A. 4.已知平面α的一个法向量为a=(1,2,-2),平面β的一个法向量为b=(-2,-4,k),若α⊥β,则k等于(　D　) (A)4 (B)-4 (C)5 (D)-5 解析:因为α⊥β,所以a⊥b,所以a·b=-2-8-2k=0,所以k=-5. 故选D. 5.已知直线l1的一个方向向量为(-7,3,4),直线l2的一个方向向量为(x,y,8),且l1∥l2,则x=　　　 　,y=　　　 　.  解析:因为l1∥l2,所以==,所以x=-14,y=6. 答案:-14　6 6.已知空间三点A(0,0,1),B(-1,1,1),C(1,2,-3),若直线AB上一点M,满足CM⊥AB,则点M的坐标为　　 　　.  解析:设M(x,y,z),则由已知, 得=λ=λ(-1,1,0)=(-λ,λ,0). 又=(x,y,z-1), 所以x=-λ,y=λ,z=1,所以M(-λ,λ,1). 又·=0,=(-λ-1,λ-2,4),=(-1,1,0), 所以(-λ-1,λ-2,4)·(-1,1,0)=0, 所以λ+1+λ-2=0,λ=. 所以点M的坐标为(-,,1). 答案:(-,,1) 能力提升 7.(多选题)在如图所示的正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,G分别是棱BB1,AD,AA1的中点,则下列说法错误的是(　ABC　) (A)D1F⊥B1C (B)FG∥D1E (C)FG⊥平面AD1E (D)BF∥平面AD1E 解析:以D为原点,以,,分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系Dxyz(图略),设AD=2,则A(2,0,0),C(0,2,0), E(2,2,1),F(1,0,0),G(2,0,1),B1(2,2,2),D1(0,0,2),B(2,2,0), =(1,0,-2),=(-2,0,-2),=(1,0,1),=(2,2,-1), =(2,0,-2),=(-1,-2,0). 设平面AD1E的法向量为n=(x,y,z), 则即 取x=2,得z=2,y=-1,则n=(2,-1,2), ·=(1,0,-2)·(-2,0,-2)=2≠0, 故D1F⊥B1C不成立, 故A不正确; 因为≠,故FG∥D1E不成立,故B不正确; ·=(1,0,1)·(2,2,-1)=1≠0, 故FG⊥平面AD1E不成立,故C不正确; ·n=(-1,-2,0)·(2,-1,2)=0,又BF⊄平面AD1E,故BF∥平面AD1E,故D正确.故选ABC. 8.如图所示,在正方体A1B1C1D1ABCD中,棱长为a,M,N分别为A1B,AC上的点,A1M=AN=,则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　B　) (A)斜交 (B)平行 (C)垂直 (D)MN在平面BB1C1C内 解析:建立如图所示的空间直角坐标系, 由于A1M=AN=, 所以C1(0,0,0),D1(0,a,0),M(a,,),N(,,a), 所以=(-,0,). 又C1D1⊥平面BB1C1C, 所以=(0,a,0)为平面BB1C1C的一个法向量. 因为·=0,所以⊥. 又MN⊄平面BB1C1C, 所以MN∥平面BB1C1C.故选B. 9.如图,已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4,P是AA1的中点,点M在侧面AA1B1B(含边界)内,若D1M