1.2 空间向量基本定理（课件）-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【导与练】高中同步全程学习（人教A版）

1.2　空间向量基本定理 数学 核心知识目标 核心素养目标 1.理解空间向量基本定理的意义. 2.理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表示. 3.会在简单问题中选用空间三个不共面向量作基底,表示其他的向量. 4.会用空间向量基本定理证明平行、垂直问题和求夹角. 在理解并应用空间向量基本定理的过程中,掌握空间向量正交分解的方法,培养学生的数学抽象、直观想象和数学运算素养. 数学 知识探究·素养启迪 课堂探究·素养培育 数学 知识探究·素养启迪 正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为2,在AB,AD,AA1上分别取单位向量e1,e2,e3. 情境导入 答案:(1)不共面. (3)能,空间中任何一个向量都能用e1,e2,e3表示. 数学 条件 如果三个向量a,b,c ,那么对任意一个空间向量p 结论 存在 ,使得p=xa+yb+zc 知识探究 1.空间向量基本定理 (1)定理 不共面 (2)基底与基向量 如果三个向量a,b,c不共面,那么所有空间向量组成的集合就是{p|p=xa+yb+zc,x,y,z∈R},这个集合可看作由向量a,b,c生成的,我们把{a,b,c}叫做空间的一个基底,a,b,c都叫做基向量. 唯一的有序实数组(x,y,z) 数学 [问题1-1] 如果{a,b,c}是空间中的一个基底,则a,b,c会有零向量吗? 答案:不会,如果a,b,c有零向量,则a,b,c一定共面,不会构成基底. [问题1-2] 如果{a,b,c}是空间中的一个基底,x,y,z∈R,xa+yb+zc=0,则x, y,z一定全为0吗? 答案:x,y,z一定全为0. 2.空间向量的正交分解 (1)单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两 ,且长度都是 ,那么这个基底叫做单位正交基底,常用{i,j,k}表示. 垂直 1 数学 答案:不是.三个基向量必须两两垂直,且长度都为1,这个基底才叫做单位正交基底. [问题2] 空间中任意三个不共面的单位向量,都可以构成单位正交基底吗? (2)正交分解 把一个空间向量分解为三个两两 的向量,叫做把空间向量进行正交分解. 垂直 数学 1.设向量a,b,c不共面,则下列集合可作为空间的一个基底的是(　 　) (A){a-2b,3a-b,0} (B){a,b,a+b} (C){3a+b,a+b,c} (D){a+b+c,a+b,c} 小试身手 C 解析:A中,由于0与任意两个向量共面,不能作为基底;B中,a+b=a+b,故三向量共面,不能作为基底;D中,a+b+c=(a+b)+c,故三向量共面,不能作为基底.故选C. 数学 C 数学 答案:3i+2j+5k 数学 数学 课堂探究·素养培育 探究点一 [例1] 设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个基底,给出下列向量:①{a,b,x};②{b,c,z};③{x,y,a+b+c}.其中可以作为空间的基底的有(　) (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)0个 基底的判断 解析:因为x=a+b,所以a,b,x共面,①错误;b,c,z不共面,②正确;x,y, a+b+c不共面,③正确.故选B. 数学 方法总结 判断基底的基本思路及方法 (1)基本思路:判断三个空间向量是否共面,若共面,则不能构成基底;若不共面,则能构成基底. (2)方法:①如果向量中存在零向量,则不能作为基底;如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示,则不能构成基底. ②假设a=λb+μc,运用空间向量基本定理,建立λ,μ的方程组,若有解,则共面,不能作为基底;若无解,则不共面,能作为基底. 数学 数学 探究点二 用基底表示向量 数学 数学 方法总结 用基底表示向量的步骤 (1)定基底:根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一个基底. (2)找目标:用确定的基底(或已知基底)表示目标向量,需要根据三角形法则及平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果. (3)下结论:利用空间向量的一个基底{a,b,c}可以表示出空间所有向量.表示要彻底,结果中只能含有a,b,c,不能含有其他形式的向量. 数学 数学 数学 探究点三 利用空间向量基本定理证明线面位置关系 [例3] 如图,在平行六面体ABCD -A′B′C′D′中,E,F,G分别是A′D′, DD′,D′C′的中点,请选择恰当的基底证明: 数学 (1)EG∥AC; 数学 (2)平面EFG∥平面AB′C. 数学 方法总结 (1)合理选择基底,使其能方便表示有关向量,并能进行运算,特别是数量积运算. (2)当直接证明线线垂直但条件不易利用时,常常考虑证