1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（课件）-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【导与练】高中同步全程学习（人教A版）

1.4　空间向量的应用 1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置 关系 数学 核心知识目标 核心素养目标 1.理解直线的方向向量与平面的法向量. 2.掌握利用空间向量研究空间中直线与平面的位置关系. 3.培养学生的作图能力和空间想象能力,增强学生应用数学的意识. 通过学习用向量语言表示直线、平面、直线的方向向量及平面的法向量,用向量方法判断、证明空间中的平行、垂直关系,培养学生的数学抽象、数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养. 数学 知识探究·素养启迪 课堂探究·素养培育 数学 知识探究·素养启迪 动手旋转一个圆盘陀螺,可以发现该陀螺随着轴一起转动时,圆盘平面时而水平,时而倾斜,在不断改变方向,陀螺的轴虽在不断改变方向,但始终与圆盘垂直. 情境导入 探究:(1)我们能用轴的方向来刻画陀螺圆盘平面的方向吗? (2)能用平面上的某一条有向线段代表的向量来刻画平面的方向吗? 答案:(1)我们能用轴的方向来刻画陀螺圆盘平面的方向吗? (2)能用平面上的某一条有向线段代表的向量来刻画平面的方向吗? 数学 知识探究 位置向量 数学 ①式和②式都称为空间直线的向量表示式. 空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量 确定. 唯一 数学 (4)平面的法向量 直线l⊥平面α,取直线l的方向向量a,我们称向量a为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量a为法向量的平面完全确定,可以 表示为集合 . [问题1] 若向量n1,n2为平面的法向量,则以这两个向量为方向向量的直线是否一定平行? 答案:不一定,以这两个向量为方向向量的直线可以是同一条直线. 数学 2.空间中直线、平面的平行 (1)两直线平行的判定方法 设u1,u2分别是直线l1,l2的方向向量, 则l1∥l2⇔ ⇔∃λ∈R,使得 . (2)直线和平面平行的判定方法 设u是直线l的方向向量,n是平面α的法向量,l⊄α, 则l∥α⇔ ⇔ . (3)平面和平面平行的判定方法 设n1,n2分别是平面α,β的法向量, 则α∥β⇔ ⇔∃λ∈R,使得 . u1∥u2 u1=λu2 u⊥n u·n=0 n1∥n2 n1=λn2 数学 [问题2] 若直线l的方向向量m和平面α的法向量垂直,则l是否与平面α平行? 答案:l与α不一定平行,有两种情况:l⊂α或l∥α. 3.空间中直线、平面的垂直 (1)两直线垂直的判定方法 设直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2, 则l1⊥l2⇔ ⇔ . (2)直线和平面垂直的判定方法 设直线l的方向向量为u,平面α的法向量为n, 则l⊥α⇔ ⇔∃λ∈R,使得 . u1⊥u2 u1·u2=0 u∥n u=λn 数学 (3)平面和平面垂直的判定方法 设平面α,β的法向量分别为n1,n2, 则α⊥β⇔ ⇔ . [问题3] (1)若两个平面的法向量不垂直,那么这两个平面垂直吗? (2)若直线l的方向向量与平面α内两条相交直线的方向向量都垂直,那么l与α垂直吗? 答案:(1)不垂直.(2)垂直. n1⊥n2 n1·n2=0 数学 1.已知A(0,1,1),B(-1,1,1),C(1,0,0),则平面ABC的一个法向量为(　 　) (A)(0,1,-1) (B)(-1,0,1) (C)(1,1,1) (D)(-1,0,0) 小试身手 A 数学 2.若两个不重合平面α,β的法向量分别为u=(1,2,-1),v=(-3,-6,3),则 (　 　) (A)α∥β (B)α⊥β (C)α,β相交但不垂直 (D)以上均不正确 A 解析:因为v=-3u,所以v∥u.故α∥β.故选A. 数学 3.已知平面α与平面β垂直,若平面α与平面β的一个法向量分别为 u=(-1,0,5),v=(t,5,1),则t的值为　　　　.  解析:因为平面α与平面β垂直,所以平面α的法向量u与平面β的法向量v互相垂直,所以u·v=0,即-1×t+0×5+5×1=0,解得t=5. 答案:5 数学 4.已知a=(2,-4,-3),b=(1,-2,-4)是平面α内的两个不共线向量.如果n=(1,m,n)是α的一个法向量,那么m=　　　　,n=　　　　.  数学 课堂探究·素养培育 探究点一 直线的方向向量 数学 (1)AA′;(2)BD′. 数学 方法总结 (1)直线的方向向量为非零向量. 数学 数学 数学 数学 探究点二 求平面的法向量 数学 数学 数学 方法总结 设直线l的方向向量为u=(a1,b1,c1),平面α的法向量为v