第一章 空间向量与立体几何 章末总结（课件）-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【导与练】高中同步全程学习（人教A版）

章末总结 数学 网络构建·归纳整合 题型归纳·素养提升 数学 网络构建·归纳整合 数学 题型归纳·素养提升 题型一　空间角 [例1] (2020·全国Ⅱ卷)如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形,侧面BB1C1C是矩形,M,N分别为BC,B1C1的中点,P为AM上一点,过B1C1和P的平面交AB于E,交AC于F. 数学 (1)证明:AA1∥MN,且平面A1AMN⊥平面EB1C1F; 数学 (2)设O为△A1B1C1的中心.若AO∥平面EB1C1F,且AO=AB,求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值. 数学 数学 规律总结 (2)利用空间向量求直线与平面所成的角,可以有两种方法: ①通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角,取其余角就是斜线和平面所成的角; 数学 ②分别求出斜线和它在平面内的射影的方向向量,再转化为求这两个方向向量的夹角(或其补角). (3)利用空间向量求二面角,也可以有两种方法: ①分别在二面角α-l-β的面α,β内,沿α,β延伸的方向作向量n1⊥l,n2⊥l,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小; ②通过法向量求解.设m1⊥α,m2⊥β,则两向量的夹角与该二面角相等或互补. 注意:二面角的取值范围是[0,π]. 数学 跟踪训练1:(2019·全国Ⅰ卷)如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形, AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点. 数学 (1)证明:MN∥平面C1DE; 数学 (2)求二面角A-MA1-N的正弦值. 数学 数学 题型二　求距离 [例2] 如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,M,N,E,F分别为A1D1,A1B1,C1D1, B1C1的中点,求平面AMN与平面EFBD间的距离. 数学 数学 数学 规律总结 空间距离 求距离的一般步骤是:一作——作出表示距离的线段;二证——证明它就是所要求的距离;三算——计算其值. (1)求空间中点到点的距离,可以利用两点间的距离公式,或转化为解三角形. (2)利用三棱锥的底面与顶点的转换,可求三棱锥的高,即用等体积法求点到面的距离. (3)空间中的各种距离一般都可以转化为点点距、点线距、点面距,若用向量方法求空间距离,则点点距、点线距最终都可以用空间向量的模来求解,而点面距则可由平面的法向量来求解. 数学 跟踪训练2:(2020·山东济宁二模)在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中,侧棱PA⊥底面ABCD,BC∥AD,∠ABC=90°,PA=AB=BC=2,AD=1,则AD到平面PBC的距离为　　　　.  数学 数学 点击进入 检测试题 数学 (1)证明:因为M,N分别为BC,B1C1的中点, 所以MN∥CC1.又由已知得AA1∥CC1, 故AA1∥MN. 因为△A1B1C1是正三角形,所以B1C1⊥A1N. 又B1C1⊥MN,故B1C1⊥平面A1AMN. 所以平面A1AMN⊥平面EB1C1F. (2)解:由已知得AM⊥BC. 以M为坐标原点,的方向为x轴正方向,||为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系Mxyz,则AB=2,AM=. 连接NP,则四边形AONP为平行四边形, 故PM=,E(,,0).由(1)知平面A1AMN⊥平面ABC. 作NQ⊥AM,垂足为Q,则NQ⊥平面ABC. 设Q(a,0,0),则NQ=,B1(a,1,), 故=(-a,-,-),||=. 又n=(0,-1,0)是平面A1AMN的一个法向量, 故sin(-<n,>)=cos <n,>==. 所以直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值为. 用向量方法求空间角 (1)两条异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求,但二者不完全相同,两异面直线所成角的取值范围是(0,],而两向量所成角的取值范围是[0,π],所以当两方向向量的夹角是钝角时,应取其补角作为两异面直线所成的角. 注意:直线与平面所成角的取值范围是[0,]. (1)证明:连接B1C,ME. 因为M,E分别为BB1,BC的中点, 所以ME∥B1C,且ME=B1C. 又因为N为A1D的中点,所以ND=A1D. 由题设知A1B1DC,可得B1CA1D, 故MEND, 因此四边形MNDE为平行四边形,MN∥ED. 又MN⊄平面EDC1, 所以MN∥平面C1DE. (2)解:由已知可得DE⊥DA. 以D为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则A(2,0,0),A1(2,0,4),M(1,,2),N(1,0,2),=(0,0,-4),=(-1,,-2), =(-1,0,-2),=(0,-,0). 设m=(x,y,z)为平面A1MA的法向量, 则⇒ 可取