第1讲 乘法原理和加法原理(考点定位精讲讲练)-2021-2022学年高二数学考试满分全攻略（沪教版2020选修第二册）

第1讲 乘法原理和加法原理考点定位精讲讲练 一、乘法原理 分步计数原理：做一件事，完成它需要分成个子步骤，做第一个步骤有种不同的方法，做第二个步骤有种不同方法，……，做第个步骤有种不同的方法．那么完成这件事共有种不同的方法．又称乘法原理． 二、加法原理 分类计数原理：做一件事，完成它有类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种方法，……，在第类办法中有种不同的方法．那么完成这件事共有种不同的方法．又称加法原理． 三、加法原理与乘法原理的综合运用 如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．【注意】 应用两个计数原理的关键是分清“步”与“类”.完成一件事需要若干步，而每一步缺一不可，则符合乘法原理，需要注意“步”与“步”之间的连续性；完成一件事有若干类方法，每类方法能独立完成这件事，则符合加法原理，需要注意“类”与“类”之间的独立性和等效性. 考点一：乘法原理 例1．（2022·上海·高三专题练习）甲、乙、丙三位同窗打算利用假期外出游览，约定每人从泰山、孔府这两处景点中任选一处，那么甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用古典概型的概率求法，求甲、乙两位同窗恰好选取同一处景点的概率即可. 【详解】甲、乙两位同窗选取景点的种数为，其中甲、乙两位同窗恰好选取同一处景点的种数为2， ∴甲、乙两位同窗恰好选取同一处景点的概率为． 故选：D 例2．（2022·上海·高三专题练习）下图是某项工程的网络图(单位:天)，则从开始节点①到终止节点⑧的路径共有（ ） A．14条 B．12条 C．9条 D．7条 【答案】B 【分析】根据分步乘法计算原理即可求解. 【详解】由图可知，由①④有3条路径，由④⑥有2条路径，由⑥⑧有2条路径，根据分步乘法计算原理可得从①⑧共有条路径. 故选：B 例3．（2021·上海·高二专题练习）现有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民币各一张，100元人民币2张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是（ ） A．1024种 B．1023种 C．1535种 D．767种 【答案】D 【分析】先看一张人民币的取法，再看2张100元人民币的取法，利用分步计数原理计算即可. 【详解】除100元人民币以外的8张人民币中，每张均有取和不取2种情况， 2张100元人民币的取法有不取、取一张和取二张3种情况， 再减去10张人民币全不取的1种情况， 所以共有种． 故选：D. 【点睛】易错点睛：误解：因为共有人民币10张，每张人民币都有取和不取2种情况，减去全不取的1种情况，共有种． 错因分析：这里100元面值比较特殊有两张，在误解中被计算成4种情况，实际上只有不取、取一张和取二张3种情况． 例4.．（2021·上海市七宝中学高二期中）在狂欢节上，有六名同学想报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，每个项目都有人报名，则共有__________种不同的报名方法． 【答案】120 【分析】根据题意，依次分析每个项目的报名方法，由分步计数原理即可求出结果. 【详解】根据题意，每项限报一人，且每人至多参加一项，每个项目都有人报名，则第一个项目有6种报名方法，第二个项目有5种报名方法，第三个项目有4种报名方法，根据分步计数原理知共有种不同的报名方法， 故答案为：120. 例5．（2021·上海市建平中学高二期中）用1、2、3三个数字能组成不同三位数的个数是________（结果用数字作答） 【答案】27 【分析】由分步计数原理计算结果. 【详解】由分步计数原理可知，每个数位有3种方法，所以由1、2、3三个数字能组成不同三位数的个数是. 故答案为： 例6．（2021·上海·复旦附中高二期中）甲､乙､丙三个人玩“剪刀､石头､布”游戏一次游戏中可以出现的不同结果数为___________种. 【答案】27 【分析】根据分步乘法计数原理进行计算即可. 【详解】甲可能出：剪刀､石头､布，共种； 乙可能出：剪刀､石头､布，共种； 丙可能出：剪刀､石头､布，共种； 根据分步乘法计数原理可知，一共可以出现的不同结果数为种， 故答案为：. 例7．（2021·上海·复旦附中高二期中）360的正约数共有___________个. 【答案】24 【分析】把360进行质因数分解，由质因数的指数可得约数个数． 【详解】，所以正约数就是从3个2、2个3、1个5中取若干个的乘积，正约数个数为． 故答案为：24． 例8．（2021·上海师范大学第二附属中学高二阶段练习）270的不同正约数共有__