9.1.2 余弦定理 第2课时 三角形中的几何计算(习题课)-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学必修第四册同步核心辅导与测评课时作业（人教B版）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(多选)已知△ABC的面积为，则角A的大小可能为(　　)，且b＝2，c＝ A．30° B．60° C．120° D．150° 解析：由S△ABC＝×sin A， ×2×＝bcsin A得 所以sin A＝，故A＝60°或120°，故选BC. 答案：BC 2．(多选)在△ABC中，已知A＝30°，a＝8，b＝8，则△ABC的面积为(　　) A．32 B．16 C．16 D．32 解析：在△ABC中，由正弦定理， ＝ 得sin B＝， ＝＝ 又b>a，∴B＝60°或120°. 当B＝60°时，C＝180°－30°－60°＝90°， ∴S△ABC＝；＝32×8×8 当B＝120°时，C＝180°－30°－120°＝30°， ∴S△ABC＝.＝16××8×8absin C＝ 答案：AC 3．已知锐角三角形ABC中，|的值为(　　)·，则|＝1，△ABC的面积为|＝4，| A．2 B．－2 C．4 D．－4 解析：S△ABC＝＝2.|·cos A＝4×1×||＝|·，所以.所以cos A＝，所以sin A＝|sin A＝2sin A＝||| 答案：A 4．在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于(　　) A. B． C. D． 解析：设AB＝c，BC边上的高为h， 由余弦定理得AC2＝c2＋BC2－2BC·ccos 60°， 即7＝c2＋4－4ccos 60°，即c2－2c－3＝0， 所以c＝3，又h＝csin 60°＝3·，故选B.＝ 答案：B 5．在△ABC中，A＝30°，AB＝2，BC＝1，则△ABC的面积等于________． 解析：由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 30°， 所以AC2－2， AC＋3＝0，所以AC＝ 所以S△ABC＝.＝××2×AB·ACsin 30°＝ 答案： 6．在△ABC中，BC＝1，B＝时，sin C＝________．，当△ABC的面积等于 解析：△ABC的面积S＝，解得c＝4.acsin B＝ 所以b＝.＝ 所以cos C＝.＝－ 所以sin C＝. 答案： 7. 如图所示，在△ABC中，已知BC＝15，AB∶AC＝7∶8，sin B＝，求BC边上的高AD的长． 解：在△ABC中，由已知设AB＝7x，AC＝8x. 由正弦定理得.＝ ∴sin C＝.＝×＝ ∴C＝60°(C＝120°舍去，由8x>7x，知B也为钝角，不合要求)． 由余弦定理得：(7x)2＝(8x)2＋152－2×8x×15cos 60°， ∴x2－8x＋15＝0，解得x＝3或x＝5. ∴AB＝21或AB＝35. 在△ABD中，AD＝ABsin B＝AB. ∴AD＝12.或20 8．在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，且a＝，则△ABC的面积等于(　　)，cos A＝ A. C．2 D．3 B． 解析：因为b2－bc－2c2＝0， 所以(b－2c)(b＋c)＝0，所以b＝2c. 由a2＝b2＋c2－2bccos A，解得c＝2，b＝4， 因为cos A＝， ，所以sin A＝ 所以S△ABC＝.＝×4×2×bcsin A＝ 答案：A 9．在△ABC中，若S△ABC＝，则角C的大小是(　　) A．90° B．60° C．45° D．30° 解析：S△ABC＝absin C，所以tan C＝1，C＝45°.＝＝ 答案：C 10．若在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝＝________．，则 解析：由面积公式得，，所以c＝4.bcsin 60°＝ 由余弦定理得， a＝ .＝ 因为， ＝＝＝ 所以.＝＝ 答案： 11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. ＝ (1)求的值； (2)若cos B＝，b＝2，求△ABC的面积． 解：(1)由正弦定理得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，所以， ＝＝ 即sin Bcos A－2sin Bcos C＝2sin Ccos B－sin Acos B，即有sin(A＋B)＝2sin(B＋C)， 即sin C＝2sin A，所以＝2. (2)由(1)知，＝2，即c＝2a， ＝ 又因为b＝2，所以由余弦定理得， b2＝c2＋a2－2accos B，即22＝4a2＋a2－2a×2a×， 解得a＝1，所以c＝2. 又因为cos B＝.，所以sin B＝ 故△ABC的面积为 .＝×1×2×acsin B＝ 12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos ＝3.·，＝ (1)求△ABC的面积； (2)若b＋c＝6，求a的值． 解：(1)∵cos ， ＝ ∴cos A＝2cos2.，sin A＝－1＝ 又由＝3