9.1.2 余弦定理 第1课时 余弦定理-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学必修第四册同步核心辅导与测评课时作业（人教B版）

1．已知在△ABC中，a＝1，b＝2，C＝60°，则c等于(　　) A. D．5 C. B． 解析：由余弦定理，得c2＝12＋22－2×1×2×cos 60°＝3，∴c＝，故选A. 答案：A 2．在△ABC中，a＝7，b＝4，则△ABC的最小角为(　　)，c＝ A. D． C. B． 解析：∵a>b>c，∴C为最小角，由余弦定理得 cos C＝， ＝＝ ∴C＝. 答案：B 3．已知在△ABC中，b2＝ac且c＝2a，则cos B等于(　　) A. D． C. B． 解析：∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2， ∴cos B＝.＝＝ 答案：B 4．(多选)在△ABC中，下列关系式一定成立的有(　　) A．asin B＝bsin A B．a＝bcos C＋ccos B C．a2＋b2－c2＝2abcos C D．b＝csin A＋asinC 解析：对于A，C项，由正弦、余弦定理，知一定成立．对于B，由正弦定理及sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋sin C·cos B，知B项成立．对于D, 利用正弦定理，变形得sin B＝sin Csin A＋sin Asin C＝2sin Asin C，又sin B＝sin(A＋C)＝cos Csin A＋cos Asin C，与上式不一定相等，所以D项不一定成立，故选ABC. 答案：ABC 5．已知a，b，c为△ABC的三边长，若满足(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C的大小为________． 解析：∵(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab， ∴a2＋b2－c2＝－ab，即， ＝－ ∴cos C＝－，∴C＝120°. 答案：120° 6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若(b－c)cos A＝acos C，则cos A＝________． 解析：由已知得.＝＝b.∴cos A＝＋c·bcos A＝acos C＋ccos A＝a· 答案： 7．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边长，若(a＋b＋c)(sin A＋sin B－sin C)＝3asin B，求角C的大小． 解：由题意，得(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，整理， 得a2＋2ab＋b2－c2＝3ab，即， ＝ 所以cos C＝，所以C＝60°. 8．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．由增加的长度确定 解析：设直角三角形的三边长分别为a，b，c，且a2＋b2＝c2，三边都增加x，则(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝a2＋b2＋2x2＋2(a＋b)x－c2－2cx－x2＝2(a＋b－c)·x＋x2>0，所以新三角形中最大边所对的角是锐角，所以新三角形是锐角三角形． 答案：A 9．在△ABC中，B＝60°，最大边与最小边之比为(＋1)∶2，则最大角为(　　) A．45° B．60° C．75° D．90° 解析：由题意可知c<b<a，或a<b<c， 不妨设c＝2x，则a＝(.＋1)x，∴cos B＝ 即∴b2＝6x2.＝ ∴cos C＝， ＝＝ ∴C＝45°，∴A＝180°－60°－45°＝75°. 答案：C 10．在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，则AC边上的中线长为________． 解析：由已知条件，得cos A＝＝49，解得x＝7，所以所求中线长为7.×ABcos A＝42＋92－2×4×9×＋AB2－2×.设AC边上的中线长为x，由余弦定理，得x2＝＝＝ 答案：7 11．在△ABC中，C＝2A，a＋c＝10，cos A＝，求b. 解：由正弦定理，得，∵a＋c＝10，∴a＝4，c＝6.＝＝2cos A＝2×＝＝ 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得矛盾，不合题意，舍去．当b＝5时，满足题意，故b＝5.，与已知cos A＝，解得b＝4或b＝5.当b＝4时，∵a＝4，∴A＝B.又C＝2A，且A＋B＋C＝π，∴A＝＝ 12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos 2C＝－. (1)求sin C的值； (2)当a＝2，2sin A＝sin C时，求b及c的长． 解：(1)∵cos 2C＝1－2sin2C＝－，0<C<π， ∴sin C＝. (2)当a＝2，2sin A＝sin C时，由正弦定理及0<C<π， ，得c＝4.由cos 2C＝2cos2C－1＝－＝ 得cos C＝±.由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C， 得b2±b－12＝0(b>0)， 解得b＝或，∴或2 13．若2a＋1，a，2a－1为钝角三角形的三边长，求实数a的取值范围． 解：因为2a＋1，a，2a－1是三角形的三边长， 所以<a