专项练习题集18——几何体表面积体积-2022年春考数学单招复习【山东专用】

几何体的表面积体积 【知识框架】 【热点题型】 题型一——多面体的侧面积和表面积 1．若正三棱台上、下底面边长分别为和，棱台的高为，则此正三棱台的侧面积为　　 A． B． C． D． 解：如图所示，正三棱台，设上、下底面的中心分别为，，分别取，的中点，， 连接，，，，过点作于点， 正三棱台上、下底面边长分别为和， ，， ， 棱台的高为，， 在中，由勾股定理可得， 此正三棱台的侧面积为， 故选：． 备注：本题主要考查了正棱台的结构特征，是基础题． 2．已知正四棱锥的底面正方形的中心为，若高，，则该四棱锥的表面积是　　 A． B． C． D． 解：由题意知，面， ， ，为等腰直角三角形， ，， ， 正四棱锥的四个侧面均是边长为2的等边三角形，底面是边长为2的正方形， 侧面积． 故选：． 备注：本题考查正四棱锥的结构特征，表面积的求法，考查空间立体感和运算求解能力，属于基础题． 3．道韵楼以“古、大、奇、美”著称，内部雕梁画栋，有倒吊莲花、壁画、雕塑等，是历史、文化、民俗一体的观光胜地．道韵楼可近似地看成一个正八棱柱，其底面面积为平方米，高约为11.5米，则该八棱柱的侧面积是　　 A．460平方米 B．1840平方米 C．2760平方米 D．3680平方米 解：如图，由题意可知，底面是正八边形，， 由余弦定理可得，， 则， 因为底面的面积为平方米， 所以，解得， 则该八棱柱的侧面积为平方米． 故选：． 备注：本题考查了空间几何体的几何性质的应用，余弦定理的应用，棱柱侧面积公式的运用，考查了逻辑推理能力、空间想象能力与化简运算能力，属于中档题． 4．已知正三棱锥的底面边长为6，点到底面的距离为3，则三棱锥的表面积是　　 A． B． C． D． 解：由题意可作底面三角形的中心到底面三角形的边的距离为：， 所以正三棱锥的斜高为：， 所以这个正三棱锥的侧面积为：． 三棱锥的表面积是：． 故选：． 备注：本题考查三棱锥的侧面积的求法，求解斜高是解题的关键，是基础题． 5．已知一直棱柱底面为正方形，它的底面边长为2，体对角线长为4，则这个棱柱的表面积是　　 A．8 B． C． D． 解：设直棱柱的高为，则由已知可得，解得， 所以直棱柱的表面积为， 故选：． 备注：本题考查了直棱柱的性质，考查了学生运算能力，属于基础题． 题型二——多面体的体积问题 1．如图，在长方体中，，，则四棱锥的体积为　　 A．3 B．4 C．6 D．9 解：是长方体，且，， 四棱锥的体积为． 故选：． 备注：本题考查多面体体积的求法，是基础题． 2．由华裔建筑师贝聿铭设计的巴黎卢浮宫金字塔的形状可视为一个正四棱锥（底面是正方形，侧棱长都相等的四棱锥），四个侧面由673块玻璃拼组而成，塔高21米，底宽34米，则该金字塔的体积为　　 A． B． C． D． 解：如图， 四棱锥，底面，，， 则， 故选：． 备注：本题考查棱锥体积的求法，是基础的计算题． 3．我国古代《九章算术》里，记载了一个“商功”的例子：今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈．问积几何？其意思是：今有上下底面皆为长方形的草垛（如图所示），下底宽2丈，长3丈；上底宽3丈，长4丈；高3丈．问它的体积是多少？该书提供的算法是：上底长的2倍与下底长的和与上底宽相乘，同样下底长的2倍与上底长的和与下底宽相乘，将两次运算结果相加，再乘以高，最后除以6．则这个问题中的刍童的体积为　　 A．13.25立方丈 B．26.5立方丈 C．53立方丈 D．106立方丈 解：由题意，下底宽2丈，长3丈；上底宽3丈，长4丈；高3丈． 则刍童的体积为丈． 故选：． 备注：本题考查棱柱、棱锥及棱台体积的求法，是基础的计算题． 4．一个底面边长为3的正三棱锥的体积与表面积为24的正方体的体积相等，则该正三棱锥的高为　　 A． B． C． D．12 解：设正方体棱长为，则，解得， 所以正方体的体积为． 设正三棱锥的高为，则三棱锥的体积为， 解得：． 故选：． 备注：本题考查了简单几何体的体积计算，属于基础题． 5．如图，在棱长为1的正方体中，为中点，则四面体的体积　　 A． B． C． D． 解：在棱长为1的正方体中，为中点， ， ． 故选：． 备注：本题考查利用等积法求多面体的体积，是基础题． 6．三棱台中，，则三棱锥，，的体积之比为　　 A． B． C． D． 解：三棱台中，， 设点到平面的距离为， 三棱锥的体积， 三棱锥的体积， 三棱锥的体积， 三棱锥，，的体积之比为． 故选：． 备注：本题考查三个三棱锥的体积之比，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 7．已知正四棱柱中，分别为，上的点．若，则三棱锥的体积为　　 A． B．2 C．1 D． 解：，平面， 到平面的距离， 又， ．