第10讲 二次函数压轴训练 - 【专题突破】2021-2022学年九年级数学下册重难点专题突破+阶段检测卷(北师大版)

第10讲 二次函数压轴训练 1. 常用公式： （1）如果A(x1,y1)B(x2,y2),那么 则它们的中点P的坐标为（, ）; (2) 直线（）与（）的位置关系: 两直线平行且 两直线垂直 2.两线之和的最小值 3.面积的最大值 4.三角形和特殊的四边形的存在性 例题1 如图1，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，过点B的直线y=kx+分别与y轴及抛物线交于点C，D． （1）求直线和抛物线的表达式； （2）动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PDC为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t的值； （3）如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使DM+MN的值最小？若存在，求出其最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线解析式为：y=，BD解析式为y=﹣；（2）t的值为、、．（3）N点坐标为（﹣2，﹣2），M点坐标为（﹣，﹣），. 【详解】 分析：（1）利用待定系数法求解可得； （2）先求得点D的坐标，过点D分别作DE⊥x轴、DF⊥y轴，分P1D⊥P1C、P2D⊥DC、P3C⊥DC三种情况，利用相似三角形的性质逐一求解可得； （3）通过作对称点，将折线转化成两点间距离，应用两点之间线段最短． 详解：（1）把A（﹣4，0），B（1，0）代入y=ax2+2x+c， 得， 解得：， ∴抛物线解析式为：y=， ∵过点B的直线y=kx+， ∴代入（1，0），得：k=﹣， ∴BD解析式为y=﹣； （2）由得交点坐标为D（﹣5，4）， 如图1，过D作DE⊥x轴于点E，作DF⊥y轴于点F， 当P1D⊥P1C时，△P1DC为直角三角形， 则△DEP1∽△P1OC， ∴=，即=， 解得t=， 当P2D⊥DC于点D时，△P2DC为直角三角形 由△P2DB∽△DEB得=， 即=， 解得：t=； 当P3C⊥DC时，△DFC∽△COP3， ∴=，即=， 解得：t=， ∴t的值为、、． （3）由已知直线EF解析式为：y=﹣x﹣， 在抛物线上取点D的对称点D′，过点D′作D′N⊥EF于点N，交抛物线对称轴于点M 过点N作NH⊥DD′于点H，此时，DM+MN=D′N最小． 则△EOF∽△NHD′ 设点N坐标为（a，﹣）， ∴=，即=， 解得：a=﹣2， 则N点坐标为（﹣2，﹣2）， 求得直线ND′的解析式为y=x+1， 当x=﹣时，y=﹣， ∴M点坐标为（﹣，﹣）， 此时，DM+MN的值最小为==2． 点睛：本题是二次函数和几何问题综合题，应用了二次函数性质以及转化的数学思想、分类讨论思想．解题时注意数形结合． 例题2 抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点． （1）如图1，连接CD，则线段CD的长为　 　； （2）如图2，点P是直线AC上方抛物线上一点，轴于点F，PF与线段AC交于点E，当的值最大时，求出对应的点P的坐标； （3）如图3，点H是线段AB的中点，连接CH，将沿直线CH翻折至的位置，再将绕点旋转一周，在旋转过程中，点，C的对应点分别是点，，直线分别与直线AC，x轴交于点M，N．那么，在的整个旋转过程中，是否存在恰当的位置，使在中成立？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在， 【分析】 （1）分别表示C和D的坐标，利用勾股定理可得CD的长． （2）令y=0，可求得A（-3，0），B（，0），利用待定系数法可计算直线AC的解析式为：y=x+，设E（x，x+），P（x，-x2-x+），表示PE的长，利用勾股定理计算AC的长，发现∠CAO=30°，得AE=2EF=x+2，计算PE+EC，利用配方法可得当PE+EC的值最大时，x=-2，此时P（-2，）． （3）如图3，连接CC1．过C1作C1E⊥B1C于E．解直角三角形求出C1E．B1E，可得结论． 【详解】 解：（1）如图1，过点D作轴于K， 当时，， ， ， ， ，， ， 故答案为：． （2）在中，令，则， 解得：，， ，， ， 利用待定系数法求得直线AC的解析式为：， 设，， ，， 中，，， ， ， ， ， ， ， ， 当的值最大时，，此时， （3）如图，过作于，交x轴于F． 是的中点， ， ， ， ， ， 将CO沿CH对折后落在直线AC上，即在AC上， ， ， ， ， ， ∵∠O1MO2=180-∠AMN=150， ∴∠O1B1O2=360-∠O1MO2-∠B1O1M-∠B1O2M =360-150-90-90 =30， 由旋转得：，， ， ，，