期末金牌新定义问题训练-期末挑重点之2021-2022学年上学期八年级数学(人教版)

2021-2022学年八上期末金牌新定义问题训练 （时间：60分钟 总分：100） 班级 姓名 得分 一、解答题 1. 请仔细阅读下面材料，然后解决问题： 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”例如：，；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，我们知道，假分数可化为带分数，例，类似的，假分式也可以化为“带分式”整式与真分式和的形式，例如： 将分式化为带分式； 当取哪些整数值时，分式的值也是整数？ 当 时，分式的最大值是          ． 【答案】解：原式； 当分式的值为整数时， 或或或， 解得：或或或， 故当或或或时，分式的值为整数； ；． 【解析】 【分析】 本题主要考查分式的值，属于阅读题，读懂题意时解题的关键． 根据阅读材料的方式化简即可求解； 根据化简后的式子可知：是的整数倍，据此可求解值，进而求解； 根据当有最小值时，分式有最大值可计算求解． 【解答】 解：见答案； 见答案； ， 当有最小值时，分式有最大值， ， 最小值为， 当时，， 故当时，分式最大值为．   2. 阅读理解若在一个两位正整数的个位数字与十位数字之间添上数字，组成一个新的三位数，我们称这个三位数为的“至善数”，如的“至善数”为；若将一个两位正整数加后得到一个新数，我们称这个新数为的“明德数”，如的“明德数”为． 的“至善数”是______，“明德数”是_______。 求证：对任意一个两位正整数，其“至善数”与“明德数”之差能被整除； 若一个两位正整数的“明德数”的各位数字之和是的“至善数”各位数字之和的一半，求的值． 【答案】，； 设    且、为整数， ， 为整数  为整数， 任意一个两位正整数，其“至善数”与“明德数”之差能被整除； 设  则“明德数”  “至善数”，且、为整数， 若不进位   ， 不符合题意； 若进一次位  ， ，         ， ，，，，； 若进位两次， ， ， 不符合题意； 综上，的值为，，，，． 【解析】 【分析】 本题考查了数字字母规律问题，根据题意分情况讨论是解题的关键． 根据题意直接可得结果 设    且、为整数，根据题意进行解答； 设  则“明德数”  “至善数”，且、为整数，分情况讨论即可． 【解答】 解：的“至善数”是，“明德数”是． 故答案为，； 见答案； 见答案．   3. 定义：如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如，，，因此，，，这三个数都是“和谐数”． 当时，           ； 设两个连续偶数为和其中取非负整数，由这两个连续偶数构成的“和谐数”是的倍数吗？为什么？ 【答案】解：； ． 为非负整数， 一定为正整数， 一定能被整除，则由这两个连续偶数构成的“和谐数”是的倍数． 【解析】 【分析】 此题考查了平方差公式，以及规律型：数字的变化类新定义问题，弄清题中“和谐数”的定义是解本题的关键． 利用“和谐数”的定义得到，已知等式右边利用平方差公式化简，即可确定出的值； 表示出两个连续偶数的平方差，整理后即可作出判断． 【解答】 解：，且， ； 故答案为． 见答案．   4. 阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位．它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算： ， ． 填空：______________，_____________． 计算：；； 试一试：请利用以前学习的有关知识将化简成的形式其中为实数． 【答案】解：； 原式 ； ； ． 【解析】 【分析】 本题主要考查实数的运算，解题的关键是熟练掌握新定义及其应用和平方差公式、完全平方公式． 由、可得答案； 利用平方差公式和完全平方公式分别展开，将代入计算即可得； 根据分子和分母都乘以，再进行计算即可． 【解答】 解：，， 故答案为：，； 见答案；见答案； 见答案．   5. 定义：若数可以表示成为自然数的形式，则称为“塞班”数． 例如：，，所以，，是“塞班”数． 请写出两个以内的“塞班”数． 像，这样的“塞班”数都是可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，试说明所有用连续两个奇数表达出的“塞班”数一定被除余． 已知两个“塞班”数，它们都可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，且它们的差是，求这两个“塞班”数． 【答案】解：，，，，，， 以内的“塞班”数有，，，，，； 设“塞班”数为为自然数 ， 能被整除， 所有用连续两个奇数表达出的“塞班”数一定被除余； 设两个“塞班”数为和， 依题意得，， 整理得，，即， 可得整数解为或， 这两个“塞班”数分别为和或和． 【解析