第12讲 角与角的关系问题-2021-2022学年七年级数学上册精选专题演练(苏科版)

第12讲 角与角的关系问题 【知识图谱】 【知识清单】 一、角的概念及表示 1． 角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 3.角的画法 利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 二、角的比较与运算 1.角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角， 1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 2.角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种． 方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 3.角的和、差关系 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1＋∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 4.角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC ＝∠AOB． 三、余角、补角、对顶角 1.余角与补角 （1）定义：一般地，如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为余角，简称互余，其中一个角叫做另一个角的余角． 类似地，如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角，简称互补，其中一个角叫做另一个角的补角． （2）性质：同角（等角）的余角相等．同角（等角）的补角相等． 2.对顶角 （1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角． 四、方位角 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角． 五、钟表上有关角问题 钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题． 【典型例题】 【例题1】把25.72°用度、分、秒表示； (2)把45°12′30″化成度（精确到百分位）． 【答案】 解：(1)0.72°＝0.72×60′＝43.2′，0.2′＝0.2×60″＝12″， 所以25.72°＝25°43′12″． (2)， 所以45°12′30″≈45.21°． 【变式1】 (1)把26.29°转化为度、分、秒表示的形式； (2)把33°24′36″转化成度表示的形式． 【答案】 (1)26.29°＝26°＋0.29°＝26°＋0.29×60′＝26°＋17.4′ ＝26°＋17′＋0.4×60″＝26°17′＋24″＝26°17′24″ (2)33°24′36″＝33°＋24′＋36×＝33°＋24′＋0.6′ ＝33°＋24.6′＝33°＋24.6×＝33.41° 【例题2】如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线． （1）如图1，当∠AOB是直角，∠BOC=60°时，∠MON的度数是多少？ （2）如图2，当∠AOB=α，∠BOC=60°时，猜想∠MON与α的数量关系； （3）如图3，当∠AOB=α，∠BOC=β时，猜想∠MON与α、β有数量关系吗？如果有，指出结论并说明理由． 【答案】 解：（1）如图1，∵∠AOB=90°，∠BOC=60°， ∴∠AOC=90°+60°=150°， ∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC， ∴∠MOC=∠AOC=75°，∠NOC=∠BOC=30° ∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=45°． （2）如图2，∠MON=α， 理由是：∵∠AOB=α，∠BOC=60°， ∴∠AOC=α+60°， ∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC， ∴∠MOC=∠AOC=α+30°，∠NOC=∠BOC=30° ∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=（α+30°）﹣30°=α． （3）如图3，∠MON=α，与β的大小无关． 理由：∵∠AOB=α，∠BOC=β， ∴∠AOC=α+β． ∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线， ∴∠MOC=∠AOC=（α+β）， ∠NOC=∠BOC=β， ∴∠AON=∠AOC﹣∠NOC=α+β﹣β=α+β． ∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC =（α+β）﹣β=α 即∠MON=α