1.4 二次根式-2022年中考数学总复习全优学案（全国通用）

1.4 二次根式 考点1 二次根式的含义及性质 1. 二次根式：式子叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a必须是非负数。 2. 最简二次根式： 若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。 化二次根式为最简二次根式的方法和步骤： （1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。 （2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。 3. 同类二次根式： 几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。 4. 二次根式的性质： （1） （2）或者 （3） （4） 考点2 二次根式的运算 二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。 例1 下列各式中，不是二次根式的是（　　） A． B． C．2 D． 例2 若，则x的取值范围是（ ） A． B． C． D．x< 例3 已知是整数，则正整数n的最小值是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 例4 设x，y为实数，且y＝6+，则|﹣x+y|的值是（　　） A．1 B．2 C．4 D．5 例5 若直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，则斜边上的高为（ ） A． B． C． D． 例6 实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简代数式，结果为（　　） A．2a B．2b C．﹣2a D．2 例7 已知满足，则的值是_______． 例8 已知m是的小数部分，则______． 例9已知最简根式与是同类二次根式，则________，________． 例10 已知a、b为有理数，m、n分别表示的整数部分和小数部分，且amn＋bn2＝1，则2a＋b＝________． 例11 代数式，当x＝时，则此代数式的值是_______． 例12 已知x＝3﹣2y，则＝___． 例13 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 例14 若a，b为实数，且，求a+b的值． 例15 先化简再求值：，其中x＝+2． 例16 （1）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的平方根是±4，求a+2b的平方根； （2）若x，y都是实数，且y＝8++，求x+3y的立方根． 例17 如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬行2个单位长度到达点B，点A所表示的数为﹣，设点B所表示的数为m． （1）求m的值； （2）求|m﹣1|＋（2﹣）（4﹣m）的值． 例18 求代数式的值，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． （1） 的解法是错误的； （2）求代数式的值，其中． 例19 下面是小明同学进行实数运算的过程，认真阅读并完成相应的任务： ＝…第一步 ＝…第二步 ＝…第三步 ＝…第四步 ＝…第五步 （1）二次根式，，，中，属于最简二次根式的是_____； （2）以上第一步的化简中由“”化为“”所依据的数学公式是______； （3）第_____步开始出现错误，写出该式的正确运算过程和结果． 例20 设一个三角形的三边长分别为a、b、c，，则有下列面积公式： （海伦公式）． （1）一个三角形边长依次为5、6、7，利用海伦公式求这个三角形的面积； （2）一个三角形边长依次为2、、3，利用海伦公式求这个三角形的面积． 例21 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，动点D在直线BC上（不与点B，C重合），连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接DE，F，G分别是DE，CD的中点，连接FG． （特例感知）（1）如图1，当点D是BC的中点时，FG与BD的数量关系是　　，FG与直线BC的位置关系是　　； （猜想论证）（2）当点D在线段BC上且不是BC的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？ ①请在图2中补全图形； ②若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （拓展应用）（3）若AB＝AC=，其他条件不变，连接BF、CF．当△ACF是等边三角形时，请直接写出△BDF的面积． 1．（2017·江苏连云港·中考真题）关于的叙述正确的是( ) A．在数轴上不存在表示的点 B． C． D．与最接近的整数是3 2．（2021·四川内江·中考真题）函数中，自变量的取值范围是（ ） A． B．且 C． D．且 3．（2021·湖南娄底·中考真题）是某三角形三边的长，则等于（ ） A． B． C．10 D．4 4．（2006·广东深圳·中考真题）、在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是（ ） A． B． C． D． 5．（2020·山东聊城·中考