第一章 2 培优课 新视角——从集合的角度理解充要条件（word）-2021秋高一数学北师大版必修第一册【创新设计】同步学考笔记（安徽）

培优课　新视角——从集合的角度理解充要条件 设p，q对应的集合分别为A，B. 若A(B，则p是q的充分不必要条件 若B(A，则p是q的必要不充分条件 若A＝B，则p，q互为充要条件 若AB，且BA，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 类型一　从集合的角度判断充要条件 【例1】　(1)p：|x|<2，q：<4，则p是q的________条件. (2)p：一个四边形是平行四边形，q：一个四边形是正方形，则q是p的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案　(1)既不充分也不必要　(2)充分不必要 解析　(1)设A＝{x||x|<2}＝{x|－2<x<2}，B＝{x|<4}＝{x|0≤x<16}.由图(1)可知AB，且BA，所以p是q的既不充分也不必要条件. (2)由图(2)可知B(A，所以q是p的充分不必要条件. 类型二　应用充分、必要、充要条件确定参数的范围 【例2】　已知集合A＝{x|2a－1<x<3a＋1}，集合B＝{x|－1<x<4}. (1)若A是B的充分条件，求实数a的取值范围； (2)是否存在实数a，使得A是B的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由. 解　(1)集合A＝{x|2a－1<x<3a＋1}， 集合B＝{x|－1<x<4}. ∵A⊆B， ∴集合A可以分为A＝或A≠两种情况来讨论： 当A＝时，满足题意，此时2a－1≥3a＋1，解得：a≤－2； 当A≠时，要使A⊆B成立， 需满足⇒0≤a≤1， 综上所得，实数a的取值范围是(－∞，－2]∪[0，1]. (2)假设存在实数a，那么A＝B， 则必有解得 故不存在实数a，使得A＝B， 即不存在实数a，使得A是B的充要条件. 尝试训练 1.集合M，N的关系如图所示，那么“a∈N”是“a∈M”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　A 解析　由Venn图可知N是M的真子集，所以“a∈N”是“a∈M”的充分不必要条件，故选A. 2.若集合P＝{1，2，3，4}，Q＝{x|x≤0或x≥5}，则“x∈P”是“x∈∁RQ”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　A 解析　因为Q＝{x|x≤0或x≥5}，所以∁RQ＝{x|0<x<5}，所以P(∁RQ，所以“x∈P”是“x∈∁RQ”的充分不必要条件，故选A. 3.(多选题)设全集为U，在下列选项中，是B⊆A的充要条件的为(　　) A.A∪B＝A B.( ∁UA)∩B＝ C.( ∁UA)⊇( ∁UB) D.A∪(∁UB)＝U 答案　ABD 解析　由Venn图可知，ABD都是充要条件.故选ABD. 4.若非空集合A，B，C满足A∪B＝C，且B不是A的子集，则(　　) A.“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件 B.“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件 C.“x∈C”是“x∈A”的充分条件 D.“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”必要条件 答案　B 解析　因为A∪B＝C且B不是A的子集，所以A是C的真子集，所以x∈A则x一定属于C，但x∈C不一定属于A，所以“x∈C”是“x∈A”的必要不充分条件. 5.设a∈R，则“a>4”的一个必要不充分条件是(　　) A.a>1 B.a<1 C.a>5 D.a<5 答案　A 解析　由题意，当a>4成立时，a>1成立，当a>1成立时，a>4不一定成立，所以a>1是a>4的必要不充分条件. 6.已知p：{x|x＋2≥0且x－10≤0}，q：{x|4－m≤x≤4＋m，m>0}，若p是q的充要条件，则实数m的值是(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 答案　C 解析　由已知，p：{x|－2≤x≤10}， 由p是q充要条件得{x|－2≤x≤10}＝{x|4－m≤x≤4＋m，m>0}，因此解得m＝6，故选C. 7.设全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤5}，集合B＝{x|2－a≤x≤1＋2a}，其中a∈R. (1)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围； (2)若“x∈B”是“x∈A”的充分条件，求实数a的取值范围. 解　(1)∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件， ∴A⊆B，∴∴a≥2， 故所求实数a的取值范围是[2，＋∞). (2)∵“x∈B”是“x∈A”的充分条件，∴B⊆A， 当B＝时，2－a>1＋2a，a<； 当B≠时，≤a≤1， 综上，a≤1， 故所求实数a的取值范围是(－∞，1]. $