2.1.1 等式的性质与方程的解集（word）-2021秋高一数学人教B版必修第一册【创新设计】同步学考笔记

第二章 等式与不等式 [数学文化]——了解数学文化的发展与应用 柯西与柯西不等式 在历史上，有一位数学家叫欧拉，他的徒弟叫拉格朗日，他徒弟的徒弟叫柯西.这个徒弟的徒弟虽然比不上他，但是还是写了些东西的，做出了一些成就.柯西出生于巴黎，在数学领域有很高的建树和造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西积分等式，他在纯数学和应用数学的功力是相当深厚的，在数学写作上，他是被认为在数量上仅次于欧拉的人，他一生一共著作了789篇论文和几本书. [读图探新]——发现现象背后的知识 1.在日常生活中，购买火车票有一项规定：随同成人旅行，身高超过1.2 m(含1.2 m)而不超过1.5 m的儿童，享受半价客票、加快票和空调票(简称儿童票)，超1.5 m时应买全价票.每一成人旅客可免费携带一名身高不足1.2 m的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票. 图1 2.汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还需继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”，“刹车距离”是分析事故的重要因素.在一个限速为40 km/h的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但最后还是碰了，事后现场勘查发现甲的刹车距离超过12 m，乙的刹车距离超过10 m，又知甲、乙两种车型的刹车距离S(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：S甲＝0.1x＋0.01x2，S乙＝0.05x＋0.005x2. 图2 问题1：在图1中，从数学的角度应如何理解和表示“不超过”“超过”呢？ 问题2：在图2中，如何检验甲、乙两车有无超速现象？ 链接：相等关系和不等关系是数学中最基本的数量关系，我们可以利用相等关系或不等关系构建方程、不等式等，不等式中通常利用不等符号来表示，如不超过即为小于等于，超过则为大于.刹车距离与速度有着密切的关系，通过本章学习，我们可以迅速地判断汽车是否超速的真实性问题. 2.1　等　式 2.1.1　等式的性质与方程的解集 课标要求 素养要求 1.能用符号语言和量词表示等式的性质. 2.了解恒等式，掌握常见的恒等式，会用“十字相乘法”分解二次三项式. 3.能利用等式的性质和有关恒等式进行代数变形，求一些方程的解集. 通过利用等式的性质和恒等式的变形培养数学运算、数学抽象、逻辑推理素养. 自主梳理 1.等式的性质 (1)等式的两边同时加上(或减法)同一个数或代数式，等式仍成立，用公式表示：如果a＝b，那么a±c＝b±c；这里的a，b，c可以是具体的一个数，也可以是一个代数式. (2)等式两边同时乘以(或除以)同一个不为零的数或代数式，等式仍成立，用公式表示：如果a＝b，那么ac＝bc，＝(c≠0). 2.恒等式 (1)恒等式的含义 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式. (2)常见的代数恒等式 ①(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2， (a－b)2＝a2－2ab＋b2； ②a2－b2＝(a＋b)(a－b)； ③a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)， a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2). 若恒等式两边是多项式，则对应项的系数相等，特别地，anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0＝0(n∈N)为恒等式⇔a0＝a1＝a2＝…＝an＝0.　　　 3.方程的解集 一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集. 自主检验 1.思考辨析，判断正误 (1)若ac＝bc，则a＝b.(×) 提示　当c＝0时，不一定有a＝b. (2)若a＝b，则＝.(×) 提示　当c＝0时，得不到＝. (3)2x＋5＝0是等式，但不是恒等式.(√) (4)t3－1＝(t－1)(t2＋t＋1)是恒等式.(√) 2.根据等式的性质，下列各式变形正确的是(　　) A.由x＝y，得x＝2y B.由3x－2＝4x＋2，得x＝4 C.由2x－3＝3x，得x＝3 D.由3x－5＝7，得3x＝7－5 答案　A 解析　对等式x＝y两边同乘以3，得x＝2y，A正确，B，C，D均不正确. 3.若a＝b，则在①a＋3＝b＋3；②a＋2＝b－2；③a－m＝b－m；④a＋4＝b－2中，正确的个数有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案　B 解析　由等式性质知①③正确，②④不正确. 4.由恒等式(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，可直接得到(a－b)3＝________. 答案　a3－3a2b＋3ab2－b3 解析　在恒等式中，以－b代b得(a－b)3＝a3－3a2b＋3ab2－b3. 题型一　利用恒等式化简 【例1】　(1)化简(m2＋1)(m＋1)(m－1)－(m4＋1)的值是(　　) A.－2m2 B.0 C.－2 D.－1 (2)计算(x＋3y)2－(3x＋y)