2.2.3 一元二次不等式的解法（word）-2021秋高一数学人教B版必修第一册【创新设计】同步学考笔记

2.2.3　一元二次不等式的解法 课标要求 素养要求 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的概念. 2.掌握求一元二次不等式解集的两种方法：因式分解法和配方法；会解简单的分式不等式. 通过从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程及用因式分解或配方法求一元二次不等式的解集，提升数学抽象、数学运算素养. 自主梳理 1.一元二次不等式的概念 一般地，形如ax2＋bx＋c＞0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且a≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“＜”“≥”“≤”等. “≥”即大于或等于两种情况满足一种即可.　　　 2.求一元二次不等式解集的方法 (1)因式分解法 一般地，如果x1＜x2，则不等式(x－x1)(x－x2)＜0的解集是(x1，x2)，不等式(x－x1)(x－x2)＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞). (2)配方法 一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)通过配方总是可以变为(x－h)2＞k或(x－h)2＜k的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的解集. 可结合函数y＝(x－x1)(x－x2)，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像理解不等式的解集.　　　 自主检验 1.思考辨析，判断正误 (1)不等式ax2＋x－1<0是一元二次不等式.(×) 提示　只有当a≠0时，ax2＋x－1<0才是一元二次不等式. (2)不等式x2－5y<0是一元二次不等式.(×) 提示　x2－5y<0含有两个未知数，故不是一元二次不等式. (3)不等式x2－2x＋3>0的解集为R.(√) (4)不等式(x＋2)(x－3)>0的解集是(－∞，－2)∪(3，＋∞).(√) 2.若0＜t＜1，则不等式(x－t)＜0的解集为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　∵0＜t＜1，∴＞1，∴t＜. ∴(x－t)＜0，∴t＜x＜. 3.设集合A＝{x|(x－1)2＜3x＋7，x∈R}，则集合A∩Z中元素个数为(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 答案　C 解析　由(x－1)2＜3x＋7，解得－1＜x＜6，即A＝{x|－1＜x＜6}，则A∩Z＝{0，1，2，3，4，5}. 故A∩Z共有6个元素.故选C. 4.已知x＝1在不等式k2x2－6kx＋8≥0的解集内，则k的取值范围是______________. 答案　{k|k≥4或k≤2} 解析　x＝1在不等式k2x2－6kx＋8≥0的解集内，把x＝1代入不等式得k2－6k＋8≥0，解得k≥4或k≤2. 题型一　解不含参数的一元二次不等式 角度1　因式分解法 【例1－1】　求下列一元二次不等式的解集： (1)x2－10x－600＞0； (2)－3x2＋2x＋1≥0. 解　(1)因为x2－10x－600＝(x＋20)(x－30)，所以原不等式等价于(x＋20)(x－30)＞0， 因此所求解集为(－∞，－20)∪(30，＋∞). (2)原不等式可化为3x2－2x－1≤0　①， 又3x2－2x－1＝(x－1)(3x＋1)＝3(x－1)， 所以①等价于(x－1)≤0， 因此所求解集为. 角度2　配方法 【例1－2】　求下列不等式的解集： (1)4(2x2－2x＋1)>x(4－x)； (2)－3x2＋6x≤2. 解　(1)由原不等式得8x2－8x＋4＞4x－x2. ∴原不等式可化为9x2－12x＋4＞0.　① 由于9x2－12x＋4＝(3x－2)2＝9， ∴①可化为9＞0，即＞0， ∴所求解集为∪. (2)原不等式可化为3x2－6x＋2≥0　①， 而3x2－6x＋2＝3(x－1)2－1， ∴①等价于3(x－1)2－1≥0，即(x－1)2≥， 即|x－1|≥， ∴x－1≤－或x－1≥， 即x≤或x≥. 因此，原不等式的解集为∪. 思维升华　解一元二次不等式的一般步骤 第一步：分解为两个因式的乘积的形式或配方成完全平方式形式； 第二步：写出不等式的解集. 【训练1】　求下列不等式的解集： (1)4x2－4x＋1>0； (2)－x2＋6x－10>0. 解　(1)∵4x2－4x＋1＝(2x－1)2， ∴原不等式可化为(2x－1)2>0， 注意到只要x≠，上述不等式就成立， ∴不等式的解集为∪. (2)∵原不等式可化为x2－6x＋10<0， x2－6x＋10＝(x－3)2＋1， ∴原不等式等价于(x－3)2＋1<0， ∴原不等式的解集为∅. 题型二　解含参数的一元二次不等式 【例2】　解关于x的不等式(a∈R)： (1)2x2＋ax＋2>0； (2)x2－(a＋a2)x＋a3>0. 解　(1)Δ＝a2－16，下面分情况讨论： ①当Δ<0，即－4<a<4时，方程2x2＋ax＋2＝0无实根，所以原不等式的解集为R. ②当Δ＝0，即