2.2.2 不等式的解集（word）-2021秋高一数学人教B版必修第一册【创新设计】同步学考笔记

2.2.2　不等式的解集 课标要求 素养要求 1.了解不等式(组)解集的概念，会求简单的一元一次不等式(组)的解集. 2.了解绝对值不等式的概念，会求形如|x|≤m，|x|≥m的绝对值不等式的解集. 1.通过学习不等式(组)解集的概念，提升数学抽象素养. 2.通过求不等式(组)的解集，提升数学运算素养. 3.通过学习绝对值不等式及其解法，提升直观想象及数学运算素养. 自主梳理 1.不等式的解集与不等式组的解集 (1)不等式的解集 不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集. (2)不等式组的解集 对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集. 不等式组中若有一个不等式的解集为∅，则不等式组的解集为∅；每一个不等式的解集均不是∅，不等式组的解集也可能是∅.　　　 2.绝对值不等式 (1)绝对值不等式的概念 一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式. (2)两种简单的绝对值不等式的解集 ①关于x的不等式|x|>m(m>0)的解为x>m或x<－m，解集为(－∞，－m)∪(m，＋∞)； ②关于x的不等式|x|<m(m>0)的解为－m<x<m，解集为(－m，m). (3)数轴上两点之间的距离公式及线段中点的坐标公式 ①一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A(a)，B(b)，则线段AB的长为AB＝|a－b|，这就是数轴上两点之间的距离公式. ②如果线段AB的中点M对应的数为x，即M(x)，则x＝；这就是数轴上的中点坐标公式. 如果a>0，那么从绝对值的几何意义看，|x|<a表示数轴上到原点距离小于a的点的集合，|x|>a表示到原点距离大于a的点的集合，即|x|<a⇔－a<x<a；|x|>a⇔x<－a或x>a，在数轴上表示如图所示. 　　　 自主检验 1.思考辨析，判断正误 (1)不等式x>y2的解集为(0，＋∞).(×) 提示　未指明未知数. (2)不等式组中的不等式不能有等号.(×) 提示　不等式组中的不等式可以有等号. (3)关于x的不等式|x|<m的解集为(－m，m).(×) 提示　当m≤0时，不正确. (4)不等式|x|<a的解集为{x|－a<x<a}.(×) 提示　应分a>0和a≤0两种情况求解. 2.平流层是指地球表面以上10 km到50 km的区域，下述不等式中，x能表示平流层高度的是(　　) A.|x＋10|<50 B.|x－10|<50 C.|x＋30|<20 D.|x－30|<20 答案　D 解析　由题意知10<x<50，故选D. 3.不等式<1的正整数解有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案　C 解析　由<1，得x<4，又x∈N＋，∴x＝1，2，3. 4.不等式组的解集为________. 答案　∅ 解析　由－2x－5≥0得x≤－， 由x－3≥0得x≥3，∴原不等式组的解集为 ∩[3，＋∞)＝∅. 题型一　解不等式组 【例1】　解不等式组： 解　不等式组： ①式两端同时乘以2，得2x＋2≥－7－x， 然后两端同时加上x－2，得3x≥－9， 不等式3x≥－9两端同时乘以，得x≥－3， 同理，解不等式②得x≥2， 所以不等式组的解集是[2，＋∞). 思维升华　一元一次不等式组的解法 (1)分开解：分别解每个不等式，求出其解集. (2)集中判：根据同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，确定不等式组的解集.(或把不等式的解集在数轴上表示出来，数形结合确定不等式组的解集) 【训练1】　解不等式组： 解　由①得x<3， 由②得x>－9. 所以原不等式组的解集为(－9，3). 题型二　含一个绝对值的不等式的解法 【例2】　求下列绝对值不等式的解集： (1)|3x－1|≤6；(2)3≤|x－2|<4. 解　(1)因为|3x－1|≤6⇔－6≤3x－1≤6， 即－5≤3x≤7，从而得－≤x≤， 所以原不等式的解集是. (2)因为3≤|x－2|<4， 所以3≤x－2<4或－4<x－2≤－3， 即5≤x<6或－2<x≤－1. 所以原不等式的解集为：{x|－2<x≤－1或5≤x<6}. 思维升华　绝对值不等式的解题策略：等价转化法 (1)形如|x|<a，|x|>a(a>0)型不等式： |x|<a⇔－a<x<a. |x|>a⇔x>a或x<－a. (2)形如a<|x|<b(b>a>0)型不等式： a<|x|<b(0<a<b)⇔a<x<b或－b<x<－a. 【训练2】　不等式|2x＋1|>3的解集是(　　) A.{x|x<－2或x>1} B.{x|－2<x<1} C.{x|x<－2或x≥1} D.{x|－2≤x<1} 答案　A 解析　由|2x＋1|>3，得2x＋1>3或2x＋1<－3，因此x<－2或x>1，所以原不等式的