2.2.1 不等式及其性质（word）-2021秋高一数学人教B版必修第一册【创新设计】同步学考笔记

2.2　不等式 2.2.1　不等式及其性质 课标要求 素养要求 1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系. 2.会用作差法比较两个实数的大小. 3.掌握不等式的性质及推论. 4.运用不等式的性质及推论解决有关问题. 1.通过运用不等式(组)表示实际问题的不等关系及比较两个实数的大小提升数学抽象及数学运算素养. 2.通过学习不等式的性质及运用不等式的性质解决问题，提升逻辑推理及数学运算素养. 自主梳理 1.不等关系与不等式 用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式. 2.比较两个实数(代数式)大小 任意给定两个实数a，b，那么 a－b＜0⇔a＜b，a－b＝0⇔a＝b，a－b＞0⇔a＞b. 实数的性质是用作差法比较大小，证明不等式的依据.　　　 3.不等式的性质 性质 别名 内容 性质1 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 性质2 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc 性质3 a>b，c<0⇒ac<bc 性质4 传递性 a>b，b>c⇒a>c 性质5 对称性 a>b⇔b<a 注意可加性与对称性为“⇔”，可乘性与传递性为“⇒”.　　　 4.不等式的推论 推论 别名 内容 推论1 移项法则 a＋b>c⇔a>c－b 推论2 同向不等式相加 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 推论3 同向不等式相乘 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 推论4 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n>1) 推论5 可开方性 a>b>0⇒> 自主检验 1.思考辨析，判断正误 (1)a不小于b可以表示为a>b.(×) 提示　a不小于b应表示为a≥b. (2)a>b⇔ac2>bc2.(×) 提示　由ac2>bc2⇒a>b，但当c＝0时，a>b⇒/　ac2>bc2. (3)同向不等式相加与相乘的条件是一致的.(×) 提示　同向不等式相乘需要每个不等式两端为正，而相加只需不等式同向即可. (4)设a，b∈R，且a>b，则a5>b5.(√) (5)推论5可推广为：如果a＞b＞0，那么＞(n∈N＋且n≥2)(√) 2.设a，b，c∈R，且a＞b，则(　　) A.ac＞bc B.＜ C.a2＞b2 D.a3＞b3 答案　D 解析　当c＝0时，A不成立；当a＞0，b＜0时，B不成立；当a＝1，b＝－5时，C不成立；a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b)·＞0，故选D. 3.用分析法：欲证①A>B，只需证②C<D，这里①是②的(　　) A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　B 解析　分析法证明的本质是证明结论的充分条件成立，即②⇒①，故①是②的必要条件. 4.设a＝，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系是________. 答案　a>c>b 解析　b＝，c＝，显然b<c. 而a2＝2，c2＝8－2＝8－<8－＝2，即a>c， 所以a>c>b. 题型一　用不等式(组)表示不等关系 【例1】　某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种.按照生产的要求600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管数量的3倍，写出满足所有上述不等关系的不等式(组). 解　设截得500 mm的钢管x根，截得600 mm的钢管y根. 根据题意得： 思维升华　1.将不等关系表示成不等式(组)的思路 (1)读懂题意，找准不等式所联系的量. (2)用适当的不等号连接. (3)多个不等关系用不等式组表示. 2.常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 【训练1】　某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式(组). 解　设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆，则 题型二　作差法比较大小 【例2】　已知a，b均为正实数.试利用作差法比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小. 解　∵a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a3－a2b)＋(b3－ab2) ＝a2(a－b)＋b2(b－a) ＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b). 当a－b＝0，即a＝b时，a3＋b3＝a2b＋ab2； 当a－b≠0，即a≠b时， (a－b)2>0，a＋b>0，a3＋b3>a2b＋ab2. 综上所述，a3＋b3≥a2b＋ab2. 思维升华　比较大小最常用的是作差法，其步骤为