2.2 培优课 破解不等式“恒成立”、“能成立”问题（word）-2021秋高一数学人教B版必修第一册【创新设计】同步学考笔记

培优课　破解不等式“恒成立”、“能成立”问题 破解不等式“恒成立”，“能成立”问题的方法主要有数形结合法，分离参数法，主参换位法，转化为函数最值求解. 类型一　数形结合法解决恒成立问题 【例1】　当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，求m的取值范围. 解　令y＝x2＋mx＋4. ∵y<0在[1，2]上恒成立， ∴x2＋mx＋4＝0的根一个小于1上，另一个大于2. 如图，得 即解得m<－5. ∴m的取值范围是(－∞，－5). 类型二　分离参数法解决恒成立问题 【例2】　设函数y＝mx2－mx－1，x∈[1，3]，若y<－m＋5恒成立，求m的取值范围. 解　y<－m＋5恒成立， 即m(x2－x＋1)－6<0恒成立， ∵x2－x＋1＝＋>0， 又m(x2－x＋1)－6<0， ∴m<. ∵y＝＝在1≤x≤3上的最小值为，∴只需m<即可. ∴m的取值范围为. 类型三　主参换位法解决恒成立问题 【例3】　已知a∈[－1，1]时，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，求x的取值范围. 解　把不等式的左端看成关于a的一次函数， 记y＝(x－2)a＋x2－4x＋4， 由y>0对于任意的a∈[－1，1]恒成立， 将a＝－1和a＝1分别代入， 解不等式组得x<1或x>3. ∴x的取值范围是(－∞，1)∪(3，＋∞). 类型四　转化为函数的最值解决能成立问题 【例4】　若存在x∈R，使得≥2成立，求实数m的取值范围. 解　∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0， ∴4x＋m≥2(x2－2x＋3)能成立， ∴m≥2x2－8x＋6能成立， 令y＝2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2， ∴m≥－2， ∴m的取值范围为[－2，＋∞). 尝试训练 1.(1)已知不等式kx2＋2kx－(k＋2)<0恒成立，求实数k的取值范围； (2)若不等式－x2＋2x＋3≤a2－3a对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围. 解　(1)当k＝0时，原不等式化为－2<0，显然符合题意. 当k≠0时，令y＝kx2＋2kx－(k＋2)，∵y<0恒成立， ∴其图像都在x轴的下方，即开口向下，且与x轴无交点. ∴解得－1<k<0. 综上，实数k的取值范围是(－1，0]. (2)原不等式可化为x2－2x＋a2－3a－3≥0， ∵该不等式对任意实数x恒成立，∴Δ≤0， 即4－4(a2－3a－3)≤0，即a2－3a－4≥0， 解得a≤－1或a≥4， ∴实数a的取值范围是(－∞，－1]∪[4，＋∞). 2.已知函数y＝，对于任意x≥1有y>0恒成立，求实数a的取值范围. 解　当x≥1时，y＝>0恒成立， 等价于x2＋2x＋a>0恒成立， 即a>－(x2＋2x)恒成立， 即a>[－(x2＋2x)]max. 令y1＝－(x2＋2x)，则 当x≥1时，y1＝－(x2＋2x)＝－(x2＋2x＋1)＋1 ＝－(x＋1)2＋1≤－3. ∴实数a的取值范围为{a|a>－3}. 3.对于满足0≤p≤4的一切实数，不等式x2＋px>4x＋p－3恒成立，试求x的取值范围. 解　不等式x2＋px>4x＋p－3恒成立， 即(x－1)p＋(x2－4x＋3)>0， 设y＝(x－1)p＋(x2－4x＋3)是以p为自变量的一次函数，则0≤p≤4时y>0恒成立， 即 解得x>3或x<－1. ∴x的取值范围是{x|x>3或x<－1}. 4.已知函数y＝|2x＋1|－|x|. (1)求不等式y>0的解集； (2)若存在x∈R，使得y≤m成立，求实数m的取值范围. 解　(1)由y>0，得|2x＋1|>|x|，两边同时平方，得 3x2＋4x＋1>0，解得x<－1或x>－. 故原不等式的解集为. (2)存在x∈R，使得y≤m成立，故m≥ymin. 当x<－，y＝－x－1； 当－≤x<0，y＝3x＋1； 当x≥0，y＝x＋1. 当x＝－时，y取得最小值为－. ∴m≥－，即m的取值范围为. $