1.1.3 第二课时 集合的补集（word）-2021秋高一数学人教B版必修第一册【创新设计】同步学考笔记

第二课时　集合的补集 课标要求 素养要求 1.在具体情境中，了解全集的含义. 2.理解给定集合中一个子集的补集含义，能求给定子集的补集. 能够在现实情境或数学情境中概括出全集、补集等数学对象的一般特征，并学会用三种语言(自然语言、图形语言、符号语言)表达和转换，提升数学抽象和数学运算素养. 自主梳理 1.全集 (1)定义：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集. (2)记法：全集通常用U表示. 全集定义的理解 (1)全集不是固定不变的，是相对于研究的具体问题情境而言的，例如在整数范围内研究问题，则全集U＝Z，在实数范围内研究问题，则全集U＝R. (2)在具体问题情境中，全集一般是预先定义的.　　　 2.补集 文字语言 如果集合A是全集U的一个子集，则由U中不属于A的所有元素组成的集合，称为A在U中的补集，记作∁UA，读作“A在U中的补集” 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 3.补集运算的性质 给定全集U及其任意一个子集A，有 (1)A∪(∁UA)＝U； (2)A∩(∁UA)＝∅； (3)∁U(∁UA)＝A. 补集定义的理解 (1)补集是相对于全集而言的，没有定义全集，则不存在补集. (2)补集既是集合之间的一种关系，也是一种集合间的运算，求集合A的补集的前提是A是全集U的子集. (3)对同一集合A，所选全集U不同，得到的补集也会变化.　　　 自主检验 1.思考辨析，判断正误 (1)根据研究问题的不同，可以指定不同的全集.(√) (2)存在x0∈U，x0∉A，且x0∉∁UA.(×) 提示　要么x0∈A，要么x0∈∁UA，且有且只有一个成立. (3)设全集U＝R，A＝，则∁UA＝.(×) 提示　A＝{x|0<x<1}，∁UA＝{x|x≤0或x≥1}. (4)设全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|x>0且y>0}，则∁UA＝{(x，y)|x≤0且y≤0}.(×) 提示　全集U是由平面直角坐标系内的所有点构成的集合，而集合A表示第一象限内的点构成的集合，显然所求的∁UA是错误的. 2.设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2}，则∁UA＝(　　) A.{1，2} B.{3，4，5} C.{1，2，3，4，5} D.∅ 答案　B 解析　∵U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2}，∴∁UA＝{3，4，5}. 3.设全集U＝R，集合A＝(1，4)，集合B＝[2，5)，则A∩(∁UB)＝(　　) A.[1，2) B.(－∞，2) C.[5，＋∞) D.(1，2) 答案　D 解析　∁UB＝(－∞，2)∪[5，＋∞)，A∩(∁UB)＝(1，2). 4.设集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2}，B＝{2，3，4}，则∁U(A∪B)＝________. 答案　{5} 解析　∵A∪B＝{1，2，3，4}，∴∁U(A∪B)＝{5}. 题型一　补集的基本运算 【例1】　(1)设集合U＝R，M＝(－∞，－2)∪(2，＋∞)，则∁UM＝(　　) A.[－2，2] B.(－2，2) C.(－∞，－2)∪(2，＋∞) D.(－∞，－2]∪[2，＋∞) (2)已知全集U＝{1，2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}，∁UA＝{3}，则实数a＝________. 答案　(1)A　(2)2 解析　(1)如图，在数轴上表示出集合M，可知∁UM＝[－2，2]. (2)由题意可知解得a＝2. 思维升华　求补集的方法 (1)列举法表示：从全集U中去掉属于集合A的所有元素后，由所有余下的元素组成的集合. (2)由不等式构成的无限集表示补集时，可借助数轴，取全集U中集合A以外的所有元素组成的集合. 【训练1】　(1)已知全集U＝[－3，＋∞)，集合A＝(－3，4]，则∁UA＝________. (2)设U＝{0，1，2，3}，A＝{x|x2＋mx＝0}，若∁UA＝{1，2}，则实数m＝________. 答案　(1){－3}∪(4，＋∞)　(2)－3 解析　(1)借助数轴得∁UA＝{－3}∪(4，＋∞). (2)∵∁UA＝{1，2}，∴A＝{0，3}，∴0，3是方程x2＋mx＝0的两个根， ∴m＝－3. 题型二　集合交、并、补的综合运算 【例2】　已知全集U＝(－∞，4]，集合A＝(－2，3)，B＝[－3，2]，求A∩B，(∁UA)∪B，A∩(∁UB). 解　利用数轴，分别表示出全集U及集合A，B，如图. 则∁UA＝(－∞，－2]∪[3，4]， ∁UB＝(－∞，－3)∪(2，4]； 所以A∩B＝(－2，2]； (∁UA)∪B＝(－∞，2]∪[3，4]； A∩(∁UB)＝(2，3). 思维升华　1.求解与不等式有关