1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定（word）-2021秋高一数学人教B版必修第一册【创新设计】同步学考笔记

1.2.2　全称量词命题与存在量词命题的否定 课标要求 素养要求 1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定. 2.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定. 通过全称量词命题与存在量词命题的否定的学习，重点提升数学抽象、逻辑推理素养. 自主梳理 1.命题的否定 (1)定义：一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“綈p”，读作“非p”或“p的否定”. (2)命题p与其否定綈p的真假关系 如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就是假命题；反之亦然. 2.全称量词命题与存在量词命题的否定 (1)全称量词命题的否定 一般地，全称量词命题“∀x∈M，q(x)”的否定是存在量词命题：∃x∈M，綈q(x). (2)存在量词命题的否定 一般地，存在量词命题“∃x∈M，p(x)”的否定是全称量词命题：∀x∈M，綈p(x). 常见词语的否定词语 原词 等于(＝) 大于(>) 小于(<) 是 都是 至多有一个 至多有n个 至少有一个 否定 不等于(≠) 不大于(≤) 不小于(≥) 不是 不都是 至少有两个 至少有(n＋1) 个 一个也没有 　　　自主检验 1.思考辨析，判断正误 (1)p：∀x∈R，x2≥－1，则綈p：∃x∈R，x2<－1.(√) (2)p：∃x∈R，|x|＋x＝0，则綈p：∀x∈R，|x|＋x≠0.(√) (3)p：∀x>－3，x2>9，则綈p为假命题.(×) 提示　p：∀x>－3，x2>9为假命题，綈p为真命题. (4)命题p：负数的立方根都是负数，则命题p的否定为真命题.(×) 提示　负数的立方根都是负数为真命题，所以命题p的否定为假命题. 2.设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集.若命题p：∀x∈A，2x∈B，则(　　) A.綈p：∀x∈A，2x∈B B.綈p：∀x∉A，2x∉B C.綈p：∃x∉A，2x∈B D.綈p：∃x∈A，2x∉B 答案　D 解析　命题p：∀x∈A，2x∈B是一个全称量词命题，綈p为：∃x∈A，2x∉B.选D. 3.对下列命题的否定说法错误的是(　　) A.p：能被2整除的数是偶数；綈p：存在一个能被2整除的数不是偶数 B.p：有些矩形是正方形；綈p：所有的矩形都不是正方形 C.p：有的三角形为正三角形；綈p：所有的三角形不都是正三角形 D.p：∃n∈N，2n≤100；綈p：∀n∈N，2n>100. 答案　C 解析　“有的三角形为正三角形”为存在量词命题，其否定为全称量词命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故C错误. 4.命题“存在x∈R，2x≤0”的否定是________. 答案　对任意的x∈R，2x>0 解析　存在量词命题的否定是全称量词命题. 题型一　命题的否定 【例1】　写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假： (1)圆周率π是无理数； (2)空集∅是集合A的子集； (3)2是质数且是偶数； (4)6是2或3的倍数. 解　(1)命题的否定：圆周率π不是无理数，是假命题. (2)命题的否定：空集∅不是集合A的子集，是假命题. (3)命题的否定：2不是质数或2不是偶数，是假命题. (4)命题的否定：6不是2的倍数且不是3的倍数，是假命题. 思维升华　否定一个命题是对这个命题结论的否定，要灵活应用常见关键词对应的否定词.另外，命题和它的否定真假性相反，可运用此结论检查所写命题的否定是否正确. 【训练1】　写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假： (1)x＝1是方程x2－3x＋2＝0的根； (2)2.是无理数； (3)1既不是质数又不是合数； (4)15是3或5的倍数. 解　(1)命题的否定：x＝1不是方程x2－3x＋2＝0的根，是假命题. (2)命题的否定：2.不是无理数，是真命题. (3)命题的否定：1是质数或合数，是假命题. (4)命题的否定：15不是3的倍数且不是5的倍数，是假命题. 题型二　全称量词命题与存在量词命题的否定 角度1　全称量词命题的否定 【例2－1】　写出下列全称量词命题的否定： (1)任何一个平行四边形的对边都平行； (2)任何一个圆都是轴对称图形； (3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解； (4)可以被5整除的整数，末位是0. 解　(1)其否定为：存在一个平行四边形，它的对边不都平行. (2)其否定为：存在一个圆不是轴对称图形. (3)其否定为：∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在. (4)其否定为：存在被5整除的整数，末位不是0. 角度2　存在量词命题的否定 【例2－2】　写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假. (1)p：∃x>1，使x2－2x－3＝0； (2)q：有些质数是奇数； (3)r：有些平行四边形不是矩形. 解　(1)綈p：∀x>1，x2－2x－3≠0.(假) (2