第三章 培优课 抽象函数“对称性”“周期性”“奇偶性”的互相转化（word）-2021秋高一数学人教A版必修第一册【创新设计】同步学考笔记

培优课　抽象函数“对称性”“周期性”“奇偶性”的互相转化 预备定义：周期函数 对于函数y＝f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内任意一个值时，f(x＋T)＝f(x)都成立，那么就把函数y＝f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期. 在解决抽象函数的某些问题时，常常需要根据“对称性”“周期性”、“奇偶性”中的一个或两个推出另一个，下面给出几种常见的类型. 类型一　由对称性推出奇偶性 定理1　若定义在R上的函数f(x)的图象关于点A(a，0)，(a∈R)对称，则f(x＋a)是奇函数. 证明：把y＝f(x)的图象和其对称中心A(a，0)同时向左平移a个单位长度，即得y＝f(x＋a)的图象和其对称中心为B(0，0).令g(x)＝f(x＋a)，则g(－x)＝－g(x). ∴f(－x＋a)＝－f(x＋a)① ∴f(x＋a)为奇函数. 推论：若定义在R上的函数f(x)的图象关于点A(a，0)对称，则f(a)＝0. 证明：在①中令x＝0，得，f(a)＝－f(a)，则f(a)＝0. 例1　已知y＝f(x)对任意的x∈R，有f(2＋x)＝－f(－x)，试判断f(x＋1)的奇偶性. 解　由f(2＋x)＝－f(－x)易知f(x)的图象关于点A(1，0)对称，再由定理1易知f(x＋1)是奇函数. 定理2　若定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x＝b(b∈R)对称，则f(x＋b)为偶函数. 证明：把y＝f(x)的图象和其对称轴x＝b同时向左平移b个单位长度，即y＝f(x＋b)的图象和其对称轴x＝0(即y轴).令g(x)＝f(x＋b)，则g(－x)＝g(x).故有 f(－x＋b)＝f(x＋b)， ∴f(x＋b)为偶函数. 例2　已知y＝f(x)对任意的x∈R，有f(4＋x)＝f(－x).试判断f(x＋2)的奇偶性. 解　由f(4＋x)＝f(－x)知f(x)的图象关于直线x＝2对称，再由定理2知f(x＋2)是偶函数. 类型二　由对称性推出周期性 定理3　已知y＝f(x)(x∈R)，a，b∈R，且a≠b，若f(x)的图象关于点A(a，0)、B(b，0)均对称，则f(x)是周期函数，且2(a－b)为其一个周期. 证明：由定理1知f(x＋a)与f(x＋b)均为奇函数，则 f(－x＋a)＝－f(x＋a)① f(－x＋b)＝－f(x＋b)② 由①得，f(x)＝－f(－x＋2a)③ 由②得，f(x)＝－f(－x＋2b)④ 由③、④得，f(－x＋2a)＝f(－x＋2b)，即 f(x＋2a)＝f(x＋2b). 令x＋2b＝t，则x＝t－2b. ∴f(t＋2a－2b)＝f(t)，即f(x＋2a－2b)＝f(x)， ∴f(x)是周期函数，且2(a－b)为其一个周期. 例3　定义在R上的函数f(x)的图象关于点A(4，0)、B(1，0)均对称，且f(0)＝1，则f(8)＝________. 答案　－1 解析　由定理3知f(x)是周期函数，且2×(4－1)＝6为其一个周期，故f(8)＝f(2).由f(x)的图象关于点B(1，0)对称得f(2)＝－f(0). ∴f(8)＝－f(0)＝－1. 定理4　若定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x＝a、x＝b(a、b∈R，且a≠b)均对称，则f(x)是周期函数，且2(a－b)为其一个周期 . 证明：由定理2知f(x＋a)、f(x＋b)均为偶函数，则 f(－x＋a)＝f(x＋a)① f(－x＋b)＝f(x＋b)② 由①得，f(x)＝f(2a－x)③ 由②得，f(x)＝f(2b－x)④ 由③、④得，f(2a－x)＝f(2b－x)⑤ 即f(x＋2a)＝f(x＋2b). 令2b＋x＝t，则x＝2b－t，代入⑤得，f(t＋2a－2b)＝f(t)， ∴f(x)是周期函数，且2(a－b)为其一个周期. 例4　已知f(x)(x∈R)的图象关于直线x＝2和x＝－2均对称，则f(1)－f(9)＝________. 答案　0 解析　由定理4知f(x)是周期函数，且2×[2－(－2)]＝8为其一个周期. ∴f(1)－f(9)＝f(1)－f(1)＝0. 定理5　若定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x＝a和点B(b，0)(a≠b)均对称，则f(x)是周期函数，且4(a－b)为其一个周期. 证明：由定理2知f(x＋a)为偶函数，则 f(－x＋a)＝f(x＋a)① 由定理1知f(x＋b)为奇函数，则 f(－x＋b)＝－f(x＋b)② 分别由①、②得f(x)＝f(2a－x)、f(x)＝－f(2b－x)， ∴f(2a－x)＝－f(2b－x)， 即f(2a＋x)＝－f(2b＋x)③ 令2b＋x＝t，则x＝t－2b，代入③得f(t＋2a－2b)＝－f(t). ∴f(x＋4a－4b)＝－f(x＋2a－2b)＝f(x)， ∴f(x)是周期函数