专题18 数列的通项公式-2021-2022学年高二数学上学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题18数列的通项公式 考点预测 类型Ⅰ 观察法： 已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项。 类型Ⅱ 公式法： 若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式 构造两式作差求解。 用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）。 类型Ⅲ 累加法： 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相加，可得： ①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ② 若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ③若是关于的二次函数，累加后可分组求和; ④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和. 类型Ⅳ 累乘法： 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相乘，可得： 有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。 类型Ⅴ 构造数列法： ㈠形如（其中均为常数且）型的递推式： （1）若时，数列{}为等差数列; （2）若时，数列{}为等比数列; （3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法有如下两种： 法一：设,展开移项整理得,与题设比较系数（待定系数法）得,即构成以为首项，以为公比的等比数列.再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列.求出的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出 ㈡形如型的递推式： ⑴当为一次函数类型（即等差数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出 ，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出 ⑵当为指数函数类型（即等比数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出 法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q, r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型Ⅴ㈠的方法解决。 ⑶当为任意数列时，可用通法： 在两边同时除以可得到，令，则，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出之后得. 类型Ⅵ 对数变换法： 形如型的递推式： 在原递推式两边取对数得，令得：，化归为型，求出之后得（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）。 类型Ⅶ 倒数变换法： 形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求； 还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求. 类型Ⅷ 形如型的递推式： 用待定系数法，化为特殊数列的形式求解。方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型。 总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式 例1．（2021·山东·胶州市教育体育局教学研究室高二期中）已知数列前n项和为，，． （1）求数列的通项公式； （2）若数列的前n项和，求数列的前n项和． 例2．（2021·江西·景德镇一中高二期中（文））若数列的前项和为，首项且. （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前项和. 例3．（2021·全国·高二阶段练习（理））设为数列的前项和，已知，且. （1）证明:数列是等比数列； （2）求数列的前项和； （3）若，求实数的取值范围. 例4．（2021·河南商丘·高二期中（文））已知正项数列满足，，设． （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项积为，若恒成立，求实数的取值范围． 例5．（2021·江苏·徐州市第一中学高二期中） （1）已知数列满足，求数列的通项公式； （2）已知数列中，，其前n项和满足()，求数列的通项公式． 过关测试 一、单选题 1．（2021·陕西·西安市铁一中学高二阶段练习（理））数列满足，且，则( ) A．－1 B．20 C．21 D．22 2．（2021·广西·桂林市中山中学高二期中（理））已知数列满足，，则（ ） A． B． C． D． 3．（2021·陕西·渭南市杜桥中学高二阶段练习（理））已知数列满足，且，则( ) A． B． C． D． 4．（2021·全国·高二课时练习）已知数列满足，，则（ ） A． B． C．