专项练习题集5——函数的性质-2022年春考数学单招复习【山东专用】

函数的性质 【知识框架】 【热点题型】 题型一——函数的单调性的判断与证明 1、下列函数中在定义域上单调递增的是　　 A． B． C． D． 解：是减函数，所以不正确； ，是减函数，所以不正确； 的单调增区间为：，，所以不正确； 由幂函数的性质可知：是增函数，所以正确． 故选：． 备注：本题考查基本函数的单调性的判断，是基础题． 2、求证：函数在区间和上都是增函数． 证明：设且，， 则， 当时，，， 当时，，， 所以， 故函数在区间和上都是增函数． 备注：本题考查了函数单调性定义的运用，函数单调性的证明问题，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题． 3、已知函数． （1）证明函数在上单调递减； （2）当时，有，求的范围． 解：（1）证明：根据题意，， 设，则， 又由，则，，， 则， 则在区间上单调递减； （2）根据题意，在区间上单调递减， 当时，有，则有， 解可得：，即的范围是． 备注：本题考查函数单调性的判断以及应用，注意先对函数的解析式变形，属于基础题． 4、已知函数，，． （1）用定义证明在定义域内是单调递减函数； （2）求该函数的值域． 解：（1）证明：根据题意，， 设，， 又由，则，，， 则， 则函数在定义域内是单调递减函数， （2）由（1）的结论，函数在，内是单调递减函数， 则其最大值为（2），最小值为（4）， 即函数的值域为，． 备注：本题考查函数单调性的证明以及函数值域的计算，注意先对函数的解析式变形，属于基础题． 题型二——求函数的单调区间 1．下列函数中，单调增区间为的是　　 A． B． C． D． 解：为反比例函数，在上递减，则不满足； 为幂函数，单调增区间为，则不满足； 为指数函数，且底数大于1，单调增区间为，则不满足； 为对数函数，且底数大于1，单调增区间为，则满足； 故选：． 备注：本题考查函数的单调性的判断，考查常见函数的单调性，记熟单调性是解题的关键． 2．函数的单调递增区间是　　 A．， B．， C．，， D． 解：由， 可知函数开口向上，对称轴，且． 可得，单调递减， 原函数的单调递增区间，． 故选：． 备注：本题考查复合函数的单调性：同增异减，注意函数的定义域，考查运算能力，属于易错题． 3、函数的单调递减区间为　　 A． B． C．， D．， 解：由题意，，可得或， 函数的定义域为，，， 令，则在，上单调递增， ，在，上单调递减，在，上单调递增， 函数的单调递减区间为，， 故选：． 备注：本题考查复合函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 4．函数的单调递增区间是　　 A．， B．， C．， D．， 解：函数， 令， 则， 由在，递增，递减， 在上递增， 可得函数的单调递增区间为，． 故选：． 备注：本题考查复合函数的单调性，注意同增异减，考查指数函数和二次函数的单调性，考查运算能力，属于中档题． 5．写出函数的单调递增区间 　　． 解：函数， 当时，，可得在，递增； 当时，，可得在，递增． 所以的递增区间为，，． 故答案为：，，． 备注：本题考查分段函数的单调区间的求法，以及二次函数的单调性，考查转化思想和运算能力，属于基础题． 题型三——利用单调性求参数值或取值范围 1、若函数的单调递减区间是，，则的值为　　 A．9 B．3 C． D． 解：是由的图象向左或向右平移个单位得到， 而的单调递减区间为，， 所以的单调递减区间为，， 所以，所以． 故选：． 备注：本题考查绝对值函数的图象与性质，属于基础题． 2、已知函数在，上是增函数，则实数的取值范围是 　　． 解：函数在，上是增函数， 可得， 解得， 即的取值范围是，． 故答案为：，． 备注：本题考查二次函数的单调性的判断，考查运算能力，是一道基础题． 3．已知函数在区间，上是增函数，则实数的取值范围是　　． 解：根据题意，函数为二次函数，对称轴为， 若函数在区间，上是增函数，则，解可得； 即实数的取值范围为，； 故答案为：，． 备注：本题考查二次函数的单调性的判断，注意分析函数的对称轴，属于基础题． 4、若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 解：由题意可得函数单调递增， 所以， 解得， 所以实数的取值范围是，． 故选：． 备注：已知分段函数的单调性求参数的范围一定要比较临界处两个值的大小是本题的关键． 题型四——利用单调性比较大小 1、已知函数在区间，上是增函数，那么下列不等式中成立的是　　 A．（4）（3） B．（4）（3） C．（4）（3） D． 解：在，上是增函数，．，（3），所以该选项错误； ．，（4），所以该选项错误； ，（3），所以该选项错误； ．，，所以该选项正确． 故选：． 备注：考查增函数的定义：定义域内的两个变量，则． 2、已知对任意的都有，设，（