第八讲 立体几何-2022年全国重点大学招生【强基计划】数学讲义

第八讲立体几何 设三面P-ABC三个二面角∠BPC,∠CPA,∠APB,所对的二面角 的平面角依次为e,,0,则 1.三面角正弦定理 sin e sin e sine sin∠ BPC sin∠ APC Sin∠BPA 2.三面角余弦定理 COS、cos∠PBA-cos∠ ABP cOS∠APC sin∠ APBsin∠APC cose_cos∠CPA-cos∠ BPC cOS∠BPA sin∠ PBC Sin∠APC CosO_cos∠APB-cos∠ PACoS∠CPB sin∠ CPA sin∠CPB 2.空间余弦定理 如图,平面M、N相交于直线1,A、D为1上的两点, 射线DB,DC分别在平面M、N内, 已知∠BDC=a,∠BDA=B,∠CDA=y, A 且&By都是锐角,9是二面角 M M-1-N的平面角, P cos a-cos cos y cos pp sin Bsin y 当二面角M-1-N是直二面角 CosO=cos·cos2(其中所在平面⊥O2所在平面) 2 B C 3.面积射影定理 CoSa- s 在二面角的一个半平面上的任意凸多边形的面积为S 此多边形在另一个半平面上射影多边形的面积为S 又二面角的平面角的度数为a,则S= s cos a H 4,一般四面体的有关公式 A (1)斯坦纳定理:在四面体ABCD中,体积为V,记AB与CD所成的 角为θ,距离为d,则有 d sin e ABCO,CoS0=(AC2+BD2)-(BC+AD) 6 2AB. CD (2)若四面体体积为V,,表面积为S,内切球半径为r,则体积V=1sr (3)设S,S2是四面体ABCD的两个面的面积,φ是它们之间的二面角 的大小,a是它们的公共棱长,则四面体体积 2S,S, sin qp 典型例题 例:PA,PB,PC是从P点出发的三条射线,每两条射线的夹角 均为60°,那么直线PC与平面PAB所成的角的余弦是 B 2 2 解:作CH⊥△APB于H,如图, C 因为cos∠ APH X cOS∠CPH=cos∠CPA 所以cos30×cos∠CPH=cos600 A E 所以cs∠CP=y3 P B 例:三棱锥PA⊥△ABC,BC⊥AC.若AC=2 二面角P-BC-A=60,三棱锥的体积V=46 则直线PB与平面P4C所成的角的正弦值为() 解:PA⊥△ABC, B P-BC-A=∠PCA=60° A CA 1 4 C 3sV=-PA·AC·BC→BC=∠∠ 所以PC=4,PB=2√6 sin∠(PB-PAC)=sin∠BPC 例:如图所示的三棱柱中,点A,BB的中点M以及BC 的中点N所确定的平面把三棱柱切割成体积Ak 不同的两部分,则小部分的体积和大部分的 M 体积之比为() 11 (B) 7 7 23 解:如图,设三角形ABC面积为S, △BM≌ABDM,BC2BD,从而S A 业DC C1 同理CC=2EC Vr=V E-ACD E-NCF M -ADB =-×-S×-h--x(-S×-)x-h--×-S×-h 2 23292 2236 23 s,故 13 J=Sh-—Shz 36 36 下23 例:已知正三棱锥P-ABC的底面边长为1,高为√2, 则其内切球半径为 解:设球心为O,内切球半径为r,则 P-ABC Vo-4Bc +3Vo O-PAB 5√3 O √2 +3×-×1× A 之C 34 34 2 6 M 解得 2 H/B 设球心为O,内切球半径为r,则PO=√2-r 又PS3 MK=MH 所以P=PM-M=33 440 因为O,H,MK四点共圆, A 十 C 所以POPH=PK·PM, MH B 2 即√2(√2-r) 2√35 ,解得:r 6 例:正四棱锥P一ABCD中,G是△PBC的重心, 则 VG_PAD G-PAB 解如图,M,N,F是相应边的中点,ME⊥PN P OH⊥PF.由于P-ABCD是正四棱锥, 则∠MNE=∠OFH=0,于是ME= MN Sin a=20Fsna=2OH.即点M到 平面PAD的距离是到平面PAB距离的2 倍,从而点G到平面PAD的距离是到平面 PAB距离的2倍,所以PAD=2 G-PAB 例:正三棱锥P-ABC的所有棱长均为1,L,M,N分别 为棱PA,PB,PC的中点,则该正三棱锥的外接球被平 面LMN所截的截面面积为 解由条件知平面LMN与平面ABC平行,为 1:2,且点P到平面LMN,ABC的距离之比 设玨为正三棱锥P-ABC的面ABC的中心, PH与平面LMN交于点K,则PH⊥平面ABC, PK⊥平面LMN,故PK=PH, 正三棱锥P-ABC可视为正四面体,